Funktionen, die nur eine Variable mit einer Potenz vorweisen, nennt man in der Mathematik Potenzfunktionen. Die einfachste hiervon auftretende Potenzfunktion kennt man daher bereits: y = x – die sogenannte erste Winkelhalbierende. Eine weitere kennt man aber bereits auch: y = x² – die sogenannte Normalparabel. Wie man sieht, ist man nicht vollkommen ahnungslos, wenn diese Funktionen in Mathe besprochen werden. Das ist doch schön! Je nachdem, ob nun die Potenz der der Potenzfunktion gerade oder ungerade ist oder positiv oder negativ, unterscheiden sich ihre Graphen entschieden. Das ist das wichtigste Merkmal dieser Funktionen! Daher sollte man sich die Potenz der Potenzfunktion immer ganz genau anschauen.
Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Potenzfunktionen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne das Wachstum einer Hefekultur in Abhängigkeit zur Zeit.
Eine Hefekultur hat zum Zeitpunkt t = 1 h die Größe 3 cm³. Pro Stunde verdreifacht sich die Größe der Hefekultur.
a) Gib den Wachstumsvorgang mittels einer Tabelle wieder.
b) Wie lautet die Zuordnungsvorschrift und die Funktionsgleichung für diese Funktion?
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Welche Punkte liegen auf dem Graphen der Funktion a) y = x²; b) y = x³.
a) P1 (2|8)
b) P2 (–1|1)
c) P3 (–2|4)
d) P4 (2|4)
e) P5 (1|1)
f) P6 (0|1)
g) P7 (–2|–4)
h) P8 (–1|–1)
i) P9 (0|0)
j) P10 (–2|8)
k) P11 (1|–1)
l) P12 (–2|–8)
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle zur Funktion f mit f(x) = x4 [für f(x) = x5] deren Funktionswerte:
a) f(0,8)
b) f($\sqrt{2}$)
c) f(3)
d) f(–1,5)
e) f(–2)
f) f(–${\frac{3}{2}}$)
g) f(2c)
h) f(c)
i) f(c²d)
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Was für einen Verlauf haben die Potenzfunktionen im Bereich –1 ≤ x ≤ 1?
In ein Koordinatensystem soll der Graph von x ↦ xn für n = 1, 2, 3, 4 und 10 im Bereich –1 ≤ x ≤ 1 gezeichnet werden. Eine Längeneinheit soll 5 cm betragen. Lege anschließend dar, wie der Verlauf der Funktionen ist.
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Potenzfunktionen
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme rechnerisch das Wachstum einer Hefekultur in Abhängigkeit zur Zeit.
Zum Zeitpunkt t = 1 h weist eine Hefekultur die Größe 1 cm³ auf. Die Hefekultur verdeifacht sich in jeder Stunde.
a) Der Wachstumsvorgang soll in einer Tabelle wiedergegeben werden.
b) Gib die Zuordnungsvorschrift und die Funktionsgleichung für diese Funktion an.
a)
Zum Zeitpunkt t = 1 hat die Hefekultur die Größe 3 cm³;
zum Zeitpunkt t = 2 (3 mal 3) = 9 cm³;
zum Zeitpunkt t = 3 (9 mal 3) = 27 cm³;
zum Zeitpunkt t = 4 (27 mal 3) = 81 cm³;
zum Zeitpunkt t = 5 (81 mal 3) = 243 cm³;
zum Zeitpunkt t = 6 (243 mal 3) = 728 cm³;
zum Zeitpunkt t = 7 (728 mal 3) = 2187 cm³;
zum Zeitpunkt t = 8 (2187 mal 3) = 6561 cm³;
zum Zeitpunkt t = 9 (6561 mal 3) 19683 cm³;
zum Zeitpunkt t = 10 (19683 mal 3) 59049 cm³.
b)
Die Zuordnungsvorschrift der Funktion lautet:
x ↦ 3x
Die Funktionsgleichung lautet:
f(x) = 3$^\mathrm x$
Bei dieser Funktion handelt es sich um keine Potenzfunktion. Bei einer Potenzfunktion ist die Basis immer die Variable und nicht der Exponent, wie es hier der Fall ist. Dennoch passt diese Aufgabe auch gut zu den Aufgaben Potenzfunktionen, um sich den Unterschied vor Augen zu führen. Bei einer Potenzfunktion wird immer die sich verändernde bzw. variable Basis mit dem gleichen Exponenten potenziert. Bei einer Funktion wie hier, einer sogenannten Exponentialfunktion, ist die Basis hingegen immer gleich, dafür der Exponent sich stets verändernd bzw. variabel.
Siehe hierzu auch ergänzend unter dem Reiter Potenzfunktionen die dort gemachten Darlegungen an.
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle, welche Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen a) y = x²; b) y = x³ liegen.
a)
P1 (2|8)
y = (2)²
y = 4
Der Punkt P1 (2|8) gehört nicht zur Funktion y = x².
y = (2)³
y = 8
Der Punkt P1 (2|8) gehört zu der Funktion y = x³.
b)
P2 (–1|1)
y = (–1)²
y = 1
Der Punkt P2 (–1|1) gehört zu der Funktion y = x².
y = (–1)³
y = –1
Der Punkt P2 (–1|1) gehört nicht zu der Funktion y = x³.
c)
P3 (–2|4)
y = (–2)²
y = 4
Der Punkt P3 (–2|4) gehört zur Funktion y = x².
y = (–2)³
y = –8
Der Punkt P3 (–2|4) liegt nicht auf dem Graphen der Funktion y = x³.
d)
P4 (2|4)
y = (2)²
y = 4
Der Punkt P4 (2|4) gehört zu der Funktion y = x².
y = (2)³
y = 8
Der Punkt P4 (2|4) liegt nicht auf dem Graphen der Funktion y = x³.
e)
P5 (1|1)
y = (1)²
y = 1
Der Punkt P5 (1|1) liegt auf dem Graphen der Funktion y = x².
y = (1)³
y = 1
Der Punkt P5 (1|1) gehört zu der Funktion y = x³.
f)
P6 (0|1)
y = (0)²
y = 0
Der Punkt P6 (0|1) liegt nicht auf der Funktion y = x².
y = (0)³
y = 0
Der Punkt P6 (0|1) gehört nicht zum Graphen der Funktion y = x³.
g) P7 (–2|–4)
y = (–2)²
y = 4
Der Punkt P7 (–2|–4) liegt nicht auf dem Graphen der Funktion y = x².
y = (–2)³
y = –8
Der Punkt P7 (–2|–4) gehört nicht zu der Funktion y = x³.
h)
P8 (–1|–1)
y = (–1)²
y = 1
Der Punkt gehört nicht zum Graphen der Funktion y = x².
y = (–1)³
y = –1
Der Punkt P8 (–1|–1) gehört zu der Funktion y = x³.
i) P9 (0|0)
y = (0)²
y = 0
Der Punkt P9 (0|0) gehört zu der Funktion y = x².
y = (0)³
y = 0
Der Punkt P9 (0|0) liegt auf dem Graphen der Funktion y = x³.
j) P10 (–2|8)
y = (–2)²
y = 4
Der Punkt P10 (–2|8) gehört nicht zu der Funktion y = x².
y = (–2)³
y = 8
Der Punkt P10 (–2|8) gehört zu der Funktion y = x³.
k) P11 (1|–1)
y = (1)²
y = 1
Der Punkt P11 (1|–1) liegt nicht auf dem Graphen der Funktion y = x².
y = (1)³
y = 1
Der Punkt P11 (1|–1) gehört nicht zu der Funktion y = x³.
l) P12 (–2|–8)
y = (–2)²
y = 4
Der Punkt P12 (–2|–8) liegt nicht auf dem Graphen der Funktion y = x².
y = (–2)³
y = –8
Der Punkt P12 (–2|–8) gehört nicht zu der Funktion y = x³.
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme zur Funktion f mit f(x) = x4 [für f(x) = x5] deren Funktionswerte.
a)
f(0,8)
f(0,8) = (0,8)4
= 0,4095
f(0,8) = (0,8)5
= 0,32768
b)
f($\sqrt{2}$)
f($\sqrt{2}$) = ($\sqrt{2}$)$^4$
= 4
f($\sqrt{2}$) = ($\sqrt{2}$)$^5$
= 5,67 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
c)
f(3)
f(3) = (3)$^4$
= 81
f(3) = (3)$^5$
= 243
d)
f(–1,5)
f(–1,5) = (–1,5)$^4$
= 5,0625
f(–1,5) = (–1,5)$^5$
= –7,59375
e)
f(–2)
f(–2) = (–2)$^4$
= 16
f(–2) = (–2)$^5$
= –32
f)
f(–${\frac{3}{2}}$)
f(–${\frac{3}{2}}$) = (–${\frac{3}{2}}$)$^4$
= 5${\frac{1}{16}}$
= 5,0625
f(–${\frac{3}{2}}$) = (–${\frac{3}{2}}$)$^5$
–7${\frac{19}{32}}$
= –7,59375
g)
f(2c)
f(2c) = (2c)4
f(2c) =16c4
f(2c) = (2c)5
f(2c) = 325
h)
f(c)
f(c) = (c)4
f(c) = c4
f(c) = (c)5
f(c) = c5
i)
f(c²d)
f(c²d) = (c²d)4
f(c²d) = c8d4
Siehe zum Potenzieren einer Potenz auch ergänzend unter dem Reiter Potenzen 2.3 Potenzgesetz für das Potenzieren eine Potenz an.
f(c²d) = (c²d)5
f(c²d) = c10d5
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle den Verlauf der Potenzfunktionen im Bereich –1 ≤ x ≤ 1.
Der Graph von x ↦ xn für n = 1, 2, 3, 4 und 10 im Bereich –1 ≤ x ≤ 1 soll in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden. Hierbei soll eine Längeneinheit 5 cm betragen. Anschließend soll der Verlauf der Funktionen beschrieben werden.
Bei x ↦ x1 handelt es sich um eine Gerade. Es ist die erste Winkelhalbierende. Sie verläuft monoton steigend.
Bei x ↦ x2 liegt die Normalparabel vor. Im negativen Bereich ist diese monoton fallend, im positiven Bereich monoton steigend. Es handelt sich um eine Kurve die achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
Bei x ↦ x3 ist der Graph der Funktion monoton steigend. Es handelt sich um eine Kurve, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Bei x ↦ x4 liegt ebenfalls eine Parabel vor. Im negativen Bereich ist diese monoton fallend und im positiven Bereich monoton steigend. Auf beiden Seiten von dem Koordinatenursprung verläuft diese zunächst flacher steigend und fallend als die Normalparabel, danach stärker steigend und fallend. Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Bei x ↦ x10 liegt ebenso eine Parabel vor. Im negativen Bereich ist diese monoton fallend, im positiven Bereich monoton steigend. Sie verläuft flacher steigend und fallend ausgehend von beiden Seiten des Koordinatenursprungs als die Normalparabel und die andere Parabel. Danach steigt sie stärker und fällt stärker als die Normalparabel und die andere Parabel. Die Funktion ist ebenso achsensymmetrisch zur y-Achse.
Siehe hierzu auch unter dem Reiter Potenzfunktionen die dort gemachten Ausführungen an.