Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Logarithmen, Teil 2

Ein Logarithmus kann in Mathe ja stets mit folgender Gleichung wiedergegeben werden log_b y = x. Hierbei stellt b die Basis und y den Numerus des Logarithmus dar. Das x ist der Exponent, mit dem man die Basis b potenzieren muss, um den Numerus y bestimmen zu können. Aufgrund des Aufbaus einer Logarithmus-Gleichung ergeben sich drei verschiedene Aufgaben-Typen – je nach gesuchter Variable. Denn je nach Aufgabe kann bei der Gleichung das x gesucht sein, das b oder das y. Beim Lösen der gesuchten Variable muss man sich hierbei stets die Wechselbeziehung des Logarithmus zu folgender Potenzschreibweise vor Augen führen: log_b y = x entspricht: b^x = y. Dann kann man auch in Mathe ohne allzu große Schwierigkeiten diese höhere Rechenoperation meistern.

Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Logarithmen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse den Logarithmus auf.

a)  log₃$\frac{1}{81}$

b)  log₂$\frac{1}{8}$

c)   log₄ 256

d)   lg 10

e)   log₅ 1

f)   log₄ 4⁵

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme zwischen welchen beiden ganzen Zahlen der Logarithmus sich befindet.

a)   log₄ 13

b)   log₆ 99

c)   lg 29,5

d)  log₂$\frac{1}{3}$

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Variable.

a)   log_b 343 = 3

b)   log₂ y = 5

c)   lg 1000 = x

d)   log_b 125 = 3

e)   log₈ 2 = x

f)    lg y = 6

g)   lg y = 3

h)   log_b 8 = 3

i)    log₆ 1296 = x

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe:  Bestimme für den Term die Lösung.

a)  log₅$\frac{1}{5^{\mathrm{m}}}$

b)  log₄$\frac{1}{\sqrt[\mathrm{n}]{4}}$

c)   log_t$\frac{1}{\sqrt{\mathrm{t}}}$

d)    log_a a²

e)    log_d = $\frac{1}{\mathrm{d^2}}$

Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Logarithmen

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle das Ergebnis des Logarithmus.

a)  log₃$\frac{1}{81}$

log₃$\frac{1}{81}$ entspricht: 3^x = $\frac{1}{81}$

Lösung: 

3^–4 = $\frac{1}{81}$

$\frac{1}{3^4}$ = $\frac{1}{81}$

x = –4

b)  log₂$\frac{1}{8}$

log₂$\frac{1}{8}$ entspricht: 2^x = $\frac{1}{8}$  

Lösung:  

2^–3 = $\frac{1}{8}$

$\frac{1}{2^3}$ = $\frac{1}{8}$

x = –3

c)   log₄ 256

log₄ 256   entspricht:   4^x = 256;   Lösung:   4⁴ = 256;   x = 4

d)   lg 10

lg 10   entspricht:   10^x = 10;   Lösung:   10¹ = 10;   x = 1

e)   log₅ 1

log₅ 1   entspricht:   5^x = 1;   Lösung:    5⁰ = 1;   x = 0

f)   log₄ 4⁵

log₄ 4⁵   entspricht:   4^x = 4⁵;   Lösung:   4⁵ = 4⁵;   x = 5

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle zwischen welchen beiden ganzen Zahlen der Logarithmus liegt.

a)   log₄ 13

log₄ 13   entspricht:   4^x = 13

4¹ = 4;      4² = 16  

Der Logarithmus liegt zwischen den Zahlen 1 und 2.

b)   log₆ 99

log₆ 99   entspricht:   6^x = 99

6² = 36;    6³ = 216;   der Logarithmus befindet sich zwischen den Zahlen 2 und 3.

c)   lg 29,5

lg 29,5   entspricht:   10^x = 29,5

10¹ = 10;   10² = 100;   der Logarithmus liegt zwischen den Zahlen 1 und 2.

d)  log₂$\frac{1}{3}$

log₂$\frac{1}{3}$ entspricht: 2^x = $\frac{1}{3}$ 

2^–2 = $\frac{1}{2^2}$ = $\frac{1}{4}$ 

2^–1 = $\frac{1}{2^1}$ = $\frac{1}{2}$ 

Der Logarithmus liegt zwischen den Zahlen –2 und –1.

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Variable.

a)   log_b 343 = 3

log_b 343 = 3   entspricht:   b³ = 343;   Lösung:   7³ = 343;   b = 7

b)   log₂ y = 5

log₂ y = 5   entspricht:   2⁵ = y;   Lösung:   2⁵ = 32;   y = 32

c)   lg 1000 = x

lg 1000 = x   entspricht:   10^x = 1000;   Lösung:    10³ = 1000;   x = 3

d)   log_b 125 = 3

log_b 125 = 3   entspricht:   b³ = 125;   Lösung:   5³ = 125;   b = 5

e)   log₈ 2 = x

log₈ 2 = x   entspricht:   8^x = 2;  

Lösung:

$8^{\frac{1}{3}}$ = 2

$\sqrt[3]{8}$ = 2

x = $\frac{1}{3}$

f)    lg y = 6

lg y = 6   entspricht:   10⁶ = y;   Lösung:   10⁶ = 1000000;   y = 1000000

g)   lg y = 3

lg y = 3   entspricht:   10³ = y;   Lösung:   10³ = 1000;   y = 1000

h)   log_b 8 = 3

log_b 8 = 3   entspricht:   b³ = 8;   Lösung:   2³ = 8;   b = 8

i)    log₆ 1296 = x

log₆ 1296 = x   entspricht:   6^x = 1296;   Lösung:     6⁴ = 1296;    x = 4

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösung des Terms.

a)  log₅$\frac{1}{5^{\mathrm{m}}}$

log₅$\frac{1}{5^{\mathrm{m}}}$ entspricht: 5^x = $\frac{1}{5}$m   

Lösung:

5^x = $\frac{1}{5}$m

5^x = 5^–m  

x = –m

b)  log₄$\frac{1}{\sqrt[\mathrm{n}]{4}}$

log₄$\frac{1}{\sqrt[\mathrm{n}]{4}}$ entspricht: 4^x = $\frac{1}{\sqrt[\mathrm{n}]{4}}$

Lösung:  

$\frac{1}{\sqrt[\mathrm{n}]{4}}$

;

;  

Lösung:

c)   

entspricht:   

;  

Lösung:  

;  

;

;

;  

Lösung:

d)    log_a a²

log_aa²   entspricht:   a^x = a²;   Lösung:   x = 2

e)    

entspricht:

;  

Lösung:  

;  

d^x = d^-2;   x = –2