Ein Rucksack mit Mathebuch und anderem Wichtigen für die GrundscDas Kann-ich-doch-bereits-Phänomen gilt bei dem Stoffgebiet Bruchterme nicht nur für die Multiplikation von Bruchtermen, sondern auch für die Division. Aus der Grundschule wissen gelehrige Schülerinnen und Schüler noch, dass bei Brüchen die Division ähnlich funktioniert wie bei der Multiplikation von Brüchen. Es gibt nur einen klitzekleinen Unterschied. Ein Bruch wird mit einem anderen Bruch dividiert, in dem man beim zweiten Bruch den Kehrwert bildet und dann mit dem ersten malnimmt. Das, was für das Bruchrechnen gilt, das gilt nun wiederum auch für Bruchterme. Daher ist das Kann-ich-doch-bereits-Phänomen alles andere als ein Zufall, sondern es liegt einfach an der gleichen Berechnungsweise – und an dem Gutgelernthaben der Multiplikation und Division von Brüchen aus der eigenen Grundschulzeit.
Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Bruchterme
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Erweitere die Bruchterme mit dem Erweiterungsfaktor –1 [dem Erweiterungsfaktor (–x²)].
a) ${\frac{a}{-a}}$
b) ${\frac{x~-~y}{x~+~y}}$
c) ${\frac{-x}{-y}}$
d) ${\frac{2a~-~1~+~2c}{3b~+~2~-~3c}}$
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Führe bei den Bruchtermen eine Multiplikation durch.
a) ${\frac{2a}{3b}}$ · ${\frac{8ab}{2c}}$
b) ${\frac{z}{y}}$ · ${\frac{2x}{5y}}$
c) ${\frac{5x}{7y}}$ · ${\frac{2}{3}}$
d) ${\frac{2a}{3b}}$ · ${\frac{a}{b}}$
e) ${\frac{a}{b}}$ · ${\frac{a~+~b}{a~-~b}}$
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Führe bei den Bruchtermen eine Division durch.
a) ${\frac{x}{y}}$ : ${\frac{4}{5}}$
b) ${\frac{3x}{2}}$ : ${\frac{7}{y}}$
c) ${\frac{s}{u}}$ : ${\frac{t}{v}}$
d) ${\frac{3a}{4b}}$ : ${\frac{7a}{2b}}$
e) ${\frac{bz}{y}}$ : ${\frac{b^2z}{y}}$
f) ${\frac{3x}{4y}}$ : ${\frac{5x}{4}}$
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle, wenn möglich, die Werte des Terms für die vorgegebenen Einsetzungen. Bestimme zudem die Bedingung, wann der Term nicht definiert ist.
a) ${\frac{x~+~y}{x^2~+~y^2}}$
für x = –5; für y = 2,5
für x = –2; für y = –3
für x = 2,5; für y = –4
b) ${\frac{7~-~a}{2a~+~b}}$
für a = 7; für b = 1
für a = –2; für b = 1
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Bruchterme
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Erweitere die Terme mit dem Erweiterungsfaktor –1 [dem Erweiterungsfaktor –x²].
a)
${\frac{a}{-a}}$ = ${\frac{a\ {\cdot}\ (-1)}{-a\ {\cdot}\ (-1)}}$ = ${\frac{-a}{a}}$ (für a ≠ 0)
${\frac{a}{-a}}$ = ${\frac{a\ {\cdot}\ (–x^2)}{-a\ {\cdot}\ (–x^2)}}$ = ${\frac{–ax^2}{ax^2}}$
Zum Erweitern von Bruchtermen siehe hierzu auch unter dem Reiter Bruchterme 2.1 Das Erweitern von Bruchtermen an.
b)
${\frac{x~-~y}{x~+~y}}$ = ${\frac{(x~-~y)\ {\cdot}\ (-1)}{(x~+~y)\ {\cdot}\ (-1)}}$ = ${\frac{x\ {\cdot}\ (-1)~-~y\ {\cdot}\ (-1)}{x\ {\cdot}\ (-1)~+~y\ {\cdot}\ (-1)}}$ = ${\frac{-x~+~y}{-x~-~y}}$ (für x ≠ –y oder y ≠ –x)
${\frac{x~-~y}{x~+~y}}$ = ${\frac{(x~-~y)\ {\cdot}\ (–x^2)}{(x~+~y)\ {\cdot}\ (–x^2)}}$ = ${\frac{x\ {\cdot}\ (–x^2)~-~y\ {\cdot}\ (–x^2)}{x\ {\cdot}\ (–x^2)~+~y\ {\cdot}\ (–x^2)}}$ = ${\frac{-x^3~+~x^2y}{-x^3~-~x^2y}}$
c)
${\frac{-x}{-y}}$ = ${\frac{-x\ {\cdot}\ (-1)}{-y\ {\cdot}\ (-1)}}$ = ${\frac{x}{y}}$ (für x ≠ 0)
${\frac{-x}{-y}}$ = ${\frac{-x\ {\cdot}\ (-x^2)}{-y\ {\cdot}\ (-x^2)}}$ = ${\frac{x^3}{x^2y}}$
d)
${\frac{2a~-~1~+~2c}{3b~+~2~-~3c}}$ = ${\frac{2a\ {\cdot}\ (-1)~-~1\ {\cdot}\ (-1)~+~2c\ {\cdot}\ (-1)}{3b\ {\cdot}\ (-1)~+~2\ {\cdot}\ (-1)~-~3c\ {\cdot}\ (-1)}}$ = ${\frac{-2a~+~1~-~2c}{-3b~-~2~+~3c}}$ (für y ≠ 0)
${\frac{2a~-~1~+~2c}{3b~+~2~-~3c}}$ = ${\frac{2a\ {\cdot}\ (-x^2)~-~1\ {\cdot}\ (-x^2)~+~2c\ {\cdot}\ (-x^2)}{3b\ {\cdot}\ (-x^2)~+~2\ {\cdot}\ (-x^2)~-~3c\ {\cdot}\ (-x^2)}}$ = ${\frac{-2ax^2~+~x^2~-~2cx^2}{-3bx^2~-~2x^2~+~3cx^2}}$
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Nehme an den Bruchtermen eine Multiplikation vor.
a)
${\frac{2a}{3b}}$ · ${\frac{8ab}{2c}}$ = ${\frac{2a\ {\cdot}\ 8ab}{3b\ {\cdot}\ 2c}}$ = ${\frac{16a^2b}{6bc}}$ (für a ≠ 0, b ≠ 0)
Zur Multiplikation von Bruchtermen siehe auch unter dem Reiter Bruchterme 4. Das Multiplizieren von Bruchtermen an.
b)
${\frac{z}{y}}$ · ${\frac{2x}{5y}}$ = ${\frac{z\ {\cdot}\ 2x}{y\ {\cdot}\ 5y}}$ = ${\frac{2xz}{5y^2}}$ (für y ≠ 0)
c)
${\frac{5x}{7y}}$ · ${\frac{2}{3}}$ = ${\frac{5x\ {\cdot}\ 2}{7y\ {\cdot}\ 3}}$ = ${\frac{10x}{21y}}$ (für y ≠ 0)
d)
${\frac{2a}{3b}}$ · ${\frac{a}{b}}$ = ${\frac{2a\ {\cdot}\ a}{3b\ {\cdot}\ b}}$ = ${\frac{2a^2}{3b^2}}$ (für b ≠ 0)
e)
${\frac{a}{b}}$ · ${\frac{a~+~b}{a~-~b}}$ = ${\frac{a\ {\cdot}\ a~+~a\ {\cdot}\ b}{b\ {\cdot}\ a~+~b\ {\cdot}\ (-b)}}$ = ${\frac{a^2~+~ab}{ab~-~b^2}}$ (für b ≠ 0, a ≠ b)
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Führe bei jedem Term eine Division durch.
a)
${\frac{x}{y}}$ : ${\frac{4}{5}}$ = ${\frac{x}{y}}$ · ${\frac{5}{4}}$ = ${\frac{x\ {\cdot}\ 5}{y\ {\cdot}\ 4}}$ = ${\frac{5x}{4y}}$ (für y ≠ 0)
Zur Division von Bruchtermen siehe auch unter dem Reiter Bruchterme 5. Das Dividieren von Bruchtermen an.
b)
${\frac{3x}{2}}$ : ${\frac{7}{y}}$ = ${\frac{3x}{2}}$ · ${\frac{y}{7}}$ = ${\frac{3x\ {\cdot}\ y}{2\ {\cdot}\ 7}}$ = ${\frac{3xy}{14}}$ (für y ≠ 0)
c)
${\frac{s}{u}}$ : ${\frac{t}{v}}$ = ${\frac{s}{u}}$ · ${\frac{v}{t}}$ = ${\frac{s\ {\cdot}\ v}{u\ {\cdot}\ t}}$ = ${\frac{sv}{tu}}$ (für t ≠ 0, u ≠ 0, v ≠ 0)
d)
${\frac{3a}{4b}}$ : ${\frac{7a}{2b}}$ = ${\frac{3a}{4b}}$ · ${\frac{2b}{7a}}$ = ${\frac{3a\ {\cdot}\ 2b}{4b\ {\cdot}\ 7a}}$ = ${\frac{6ab}{28ab}}$ (für a ≠ 0, b ≠ 0)
e)
${\frac{bz}{y}}$ : ${\frac{b^2z}{y}}$ = ${\frac{bz}{y}}$ · ${\frac{y}{b^2z}}$ = ${\frac{bz\ {\cdot}\ y}{y\ {\cdot}\ b^2z}}$ = ${\frac{byz}{b^2yz}}$ (für b ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0)
f)
${\frac{3x}{4y}}$ : ${\frac{5x}{4}}$ = ${\frac{3x}{4y}}$ · ${\frac{4}{5x}}$ = ${\frac{3x\ {\cdot}\ 4}{4y\ {\cdot}\ 5x}}$ = ${\frac{12x}{20xy}}$ (für x ≠ 0, y ≠ 0)
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle, wenn möglich, die Werte des Bruchterms für die angegebenen Einsetzungen. Bestimme zudem die Bedingung, wann der Bruchterm nicht definiert ist.
a)
${\frac{x~+~y}{x^2~+~y^2}}$
für x = –5; für y = 2,5
für x = –2; für y = –3
für x = 2,5; für y = –4
${\frac{x~+~y}{x^2~+~y^2}}$
für x = –5; für y = 2,5
${\frac{-5~+~2,5}{(-5)^2~+~(2,5)^2}}$ = ${\frac{-2,5}{25~+~6,25}}$ = ${\frac{-2,5}{31,25}}$ = –0,08
${\frac{x~+~y}{x^2~+~y^2}}$
für x = –2; für y = –3
${\frac{-2~+~(-3)}{(-2)^2~+~(-3)^2}}$ = ${\frac{-5}{4~+~9}}$ = –${\frac{5}{13}}$
${\frac{x~+~y}{x^2~+~y^2}}$
für x = 2,5; für y = –4
${\frac{2,5~+~(-4)}{(2,5)^2~+~(-4)^2}}$ = ${\frac{-1,5}{6,25~+~16}}$ = ${\frac{-1,5}{22,25}}$ = –${\frac{1,5}{22,25}}$ = –${\frac{150}{2225}}$ = –${\frac{6}{89}}$
Zur Bestimmung der Definitionsmenge muss man den Nenner gleich null setzen.
$x^2$ + $y^2$ = 0 | – $y^2$
$x^2$ = –$y^2$ | √
$x^2$ = nicht definiert (n. d.)
Da hier unter der Wurzel –$y^2$ steht, ist der Term immer lösbar. Das Gleiche gilt übrigens, wenn man die Gleichung nach y hin umformt! Daher gibt es bei der Definitionsmenge keine Einschränkung.
D = ℚ
b) ${\frac{7~-~a}{2a~+~b}}$
für a = 7; für b = 1
für a = –2; für b = 1
${\frac{7~-~a}{2a~+~b}}$
für a = 7; für b = 1
${\frac{7~-~7}{2\ {\cdot}\ 7~+~1}}$ = ${\frac{0}{14~+~1}}$ = ${\frac{0}{15}}$ = 0
${\frac{7~-~a}{2a~+~b}}$
für a = –2; für b = 1
${\frac{7~-~(-2)}{2\ {\cdot}\ (-2)~+~1}}$ = ${\frac{9}{-4~+~1}}$ = ${\frac{9}{-3}}$ = –3
Zur Bestimmung der Definitionsmenge muss man den Nenner gleich null setzen.
2a + b = 0 | – 2a
b = –2a
Natürlich kann man die Gleichung auch nach a hin auflösen!
D = {a, b Є ℚ | b ≠ –2a}