Mit Potenzen wird man in Mathematik seine ganze Schulzeit konfrontiert. Umso wichtiger ist es daher, dass man weiß, was man tut, wenn man in Aufgaben mit Potenzen konfrontiert wird.
In der Grundschule geht es zunächst darum Potenzen aus besonderen Malaufgaben abzuleiten. Hier übt man intensiv die Multiplikation und die Potenzschreibweis. Später in der Sekundarstufe I lernt, man Schritt für Schritt verschiedene Potenzgesetze kennen (genauer fünf an der Zahl). Die Potenzgesetze sind hierbei nichts anderes Umformungen eines speziellen Terms, bei dem Potenzen auftreten. Diese treten dann auch noch in sogenannten Bruchtermen auf, wobei man wiederum bestimmte Umformungen bei den diesen machen muss. Später in der Sekundarstufe II nehmen Potenzen speziell in der Analysis bei Differential- und der Integralrechnung wiederum eine signifikante Rolle ein. Leider kann man daher hierbei auch einiges an Fehler machen…
Examplarisch wird hier in einer Reihe auf Fehler bei Potenzen eingegangen.
Beispiel 1:
Hier sind Fehler, die im Zusammenhang mit Potenzen im Fach Mathematik beim Bewältigen von Aufgaben auftreten.
x + x + x + x + x + x + x + x = x8
Wenn man für das x eine Zahl einsetzt, wird man sofort sehen, dass das Ergebnis nicht stimmen kann! Setzt man bspw. Für x = 2 ein ergibt sich:
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +2 = 8
Bei 28 ergibt sich:
28 = 256.
Wie man unschwer erkennen kann, ist 8 alles andere als 256. Man hat hier die Addition mit der Multipliation verwechselt. Denn:
x + x + x + x + x + x + x + x = 8x und x · x · x · x · x · x · x · x = x8
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +2 = 8 und 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 28
Beispiel 2:
(5x)2 = 5x2
Auf den ersten Blick sieht das hier gar nicht nach einem Fehler aus. Die Potenz vor der Klammer tritt ja auch wieder auf, nachdem man die Klammer aufgelöst hat. Also wurde hier vielleicht gar kein Fehler gemacht?! Doch! Wir setzt einmal wieder eine Zahl für das x ein, um zu überprüfen, ob beide Terme das gleiche Ergebnis ergeben. Für x = 2 ergibt sich:
(5 · 2)2 = 5 · 22
(10)² = 5 · 4
100 = 20
Wie man unschwer erkennt, unterscheiden sich beide Ergebniss. Folglich muss bei der Umwandlung des einen Terms in den anderen ein Fehler passiert sein – und diese hat mit den Potenzen zu zu.
Wenn man bei (5x)2 die Klammer auflöst, muss das Potenzieren bei allen, was sich in der Klammer befindet – also beim kompletten Term im Innern – gemacht werden, also sowohl bei der konstanten Zahl, als auch bei der Variablen. Daher sieht das Ergebnis folgendermaßen aus:
(5x)2 = 52x2 = 25x2
Man kann jetzt noch einmal überprüfen, ob der ausgeklammerte Term jetzt korrekt ist. Man setzt nun einfach noch einmal bei beiden Termen für x eine Zahl ein. Für x = 2 ergibt sich:
(5 · 2)2 = 25 · 22
102 = 25 · 4
100 = 100
Wie man nun unschwer erkennt, ist das Ergebnis des einen Terms gleich des anderen. Das muss auch so sein, da die Termumfomung nun korrekt ist, da die Klammer mit der Potenz richtig aufgelöst wurde.
Da Potenzen so bedeutsam in der Schule in Mathematik sind, gibt es hier auf dem Mathematik Nachhilfe Blog zahlreiche Übungsaufgaben für Potenzen, die man auch als PDF herunterladen kann, und zwar bei Übungsaufaben Potenzen.