Im Fach Mathematik gehört auch die Geometrie und hierbei besonders das Zeichnen und Berechnen von Flächen verschiedener Vielecke zu einem wichtigen Stoffgebiet. Daher ist es hier nicht nur wichtig, gut mit dem Taschenrechner umzugehen, sondern auch gut mit dem Geodreieck und dem Bleistift. Möglichst immer Millimeter-genau jegliche Strecken und Winkel auf das Blatt zu zeichnen, das ist nicht so einfach. Das erfordert Übung und Genauigkeit. Umso wichtiger ist es, dass man immer ein gutes Geodreieck hat, dessen Skala tipptopp ablesbar ist. Ein stets gespitzter Bleistift ist ebenfalls unabdingbar. Die Genauigkeit kommt dann mehr und mehr durch die Übung, sprich durch das eigenständige Lösen von Aufgaben.
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Flächeninhalt von Vielecken
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Berechnen den Flächeninhalt A$_\mathrm R$ des Rechtecks mit den Seitenlängen a und b.
a)
a = 55 mm
b = 4,5 cm
b)
a = 70 mm
b = 4 cm
c)
a = 9 dm
b = 3 cm
d)
a = 12,6 m
b = 136 cm
e)
a = 4,6 km
b = 400 m
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ein Parallelogramm ABCD besitzt den Flächeninhalt AP = 20 cm². Die Strecke AB = 4 cm und die Strecke BC = 6 cm. Zeichne dieses Parallelogramm.
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Von einem Dreieck ist der Flächeninhalt AD und eine Grundseite g [die Höhe h] gegeben. Auf welche Weise kann man die Höhe h des Dreiecks berechnen [die Grundseite g]? Gib hierfür eine Formel bzw. eine Gleichung an.
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Es liegt ein Dreieck ABC vor. Folgendes ist hiervon gegeben:
a) a = 7,5 cm, b = 5,3 cm und ha = 4,6 cm. Ermittle die Höhe hb.
b) a = 7,1 cm, b = 3,5 cm und hb = 3,2 cm. Ermittle die Höhe ha.
Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Flächeninhalt von Vielecken
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle den Flächeninhalt AR des Rechtecks, das folgende Seitenlängen a und b vorweist.
a)
a = 55 mm
b = 4,5 cm
Die Formel von AR eines Rechtecks lautet: AR = a · b.
Zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks siehe auch unter dem Reiter Flächeninhalt 3. Der Flächeninhalt bei einem Rechteck an.
Bevor man die Seitenlängen in die Formel/Gleichung einsetzt, müssen diese die gleiche Längeneinheit vorweisen. Entweder man rechnet 55 mm (: 10 = 5,5 cm) um oder 4,5 cm (· 10 = 45 cm) um.
Zum Umrechnen von Längeneinheiten siehe auch unter dem Reiter Umrechnen von Größen das dort Dargelegte an.
AR = a · b = 5,5 cm · 4,5 cm = 24,75 cm²
b)
a = 70 mm
b = 4 cm
70 mm (geteilt durch 10) = 7 cm; 4 cm (mal 10) = 40 mm.
AR = a · b = 7 cm · 4 cm = 28 cm²
c)
a = 9 dm
b = 3 cm
9 dm (mal 10) = 90 cm; 3 cm (durch 10) = 0,3 dm.
AR = a · b = 90 cm · 3 cm = 270 cm²
d)
a = 12,6 m
b = 136 cm
12,6 m (mal 10, mal 10) = 1260 cm; 136 cm (geteilt durch 10, geteilt durch 10) = 1,36 m.
AR = a · b = 1260 cm · 136 cm = 171360 cm²
e)
a = 4,6 km
b = 400 m
4,6 km (mal 1000) = 4600 m; 400 m (geteilt durch 1000) = 0,4 km.
AR = a · b = 4600 m · 400 m = 1840000 m²
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Es ist ein Parallelogramm ABCD mit dem Flächeninhalt AP = 20 cm² gegeben. Die Streckenlängen des Parallelogramms sind AB = 4 cm und BC = 6 cm. Zeichne das Parallelogramm.
Da kein Winkel bei dem Parallelogramm angegeben ist, kann man dieses nicht sogleich zeichnen. Es ist aber der Flächeninhalt des Parallelogramms bekannt. Über diesen kann man die Höhe des Parallelogramms bestimmen. Denn: AP = g · h
Siehe hierzu auch unter dem Reiter Flächeninhalt 5. Flächeninhalt eines Parallelogramms an.
Man muss nur die Formel/Gleichung nach der Höhe h hin umformen. g ist gleich der Strecke AB.
Zum Umformen von Gleichungen siehe auch unter dem Reiter Gleichungen 3. Äquivalenzumformungen bei Gleichungen an.
AP = g · h | : g
${\frac{\mathrm A_\mathrm P}{\mathrm g}}$ = h
h = ${\frac{\mathrm A_\mathrm P}{\mathrm g}}$ = ${\frac{\mathrm 2\mathrm 0~\mathrm c\mathrm m^2}{\mathrm 4~\mathrm c \mathrm m}}$ = 5 cm
Jetzt kann man mittels Geodreieck und Zirkel das Parallelogramm zeichnen. Die Höhe h verläuft rechtwinklig zur Strecke AB. Am Ende der Strecke AB zeichnet man die Höhe h. Am oberen Ende der Höhe h zeichnet man nun eine parallele Stecke zu AB. Den Zirkel stellt man auf die Länge BC ein und sticht damit am Anfang und am Ende der Strecke AB ein (natürlich kann man das aber auch an einer x-beliebigen Stelle auf der Strecke AB machen). Die sich hieraus ergebenden Schnittpunkte mit der obigen Parallelen sind die weiteren Punkte des Parallelogramms. Dadurch ergibt sich dann das Parallelogramm mit dem angegebenen Flächeninhalt und den gegebenen Seitenlängen.
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib bei einem Dreieck mittels Formel/Gleichung an, wie man die gesuchten Größen berechnen kann. Es ist bei einem Dreieck der Flächeninhalt [latexpage] A$_D$ und eine Grundseite g [die Höhe h] gegeben.
Den Flächeninhalt eines Dreiecks kann man folgendermaßen berechnen:
AD = $\frac{\mathrm{g} \cdot \mathrm{h}}{2}$
Mittels Äquivalenzumformungen kann man die Formel/Gleichung nach der Höhe h umformen.
AD = $\frac{\mathrm{g} \cdot \mathrm{h}}{2}$ | · 2
AD · 2 = g · h | : g
$\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{D}} ~\cdot~ 2}{\mathrm{g}}$ = h
h = $\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{D}} ~\cdot ~2}{\mathrm{g}}$
h = $\frac{2 ~\cdot ~\mathrm{A}_{\mathrm{D}}}{\mathrm{g}}$
Ebenso mittels Äquivalenzumformungen kann man die Formel/Gleichung nach der Grundseite g hin umformen.
AD = $\frac{\mathrm{g} ~\cdot~ \mathrm{h}}{2}$ | · 2
AD · 2 = g · h | : h
$\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{D}} ~\cdot ~2}{\mathrm{h}}$ = g
g = $\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{D}}~ \cdot~ 2}{\mathrm{h}}$
g = $\frac{2~ \cdot~ \mathrm{A}_{\mathrm{D}}}{\mathrm{h}}$
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bei einem Dreieck ABC ist gegeben:
a) a = 7,5 cm, b = 5,3 cm und ha = 4,6 cm. Bestimme die Höhe hb.
b) a = 7,1 cm, b = 3,5 cm und hb = 3,2 cm. Bestimme die Höhe ha.
Über die Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks kann man die gesuchten Höhen jeweils ermitteln. Es ist ja jeweils die Grundseite zu der gesuchten Höhe gegeben. Hat man daher den Flächeninhalt, kann man auch die gesuchte Höhe bestimmen.
a) a = 7,5 cm, b = 5,3 cm und ha = 4,6 cm. Bestimme die Höhe hb.
AD = $\frac{\mathrm{g_a ~\cdot ~h_a}}{2}$ = $\frac{7,5~\mathrm{cm}~ \cdot~ 4,6~\mathrm{cm}}{2}$ = $\frac{\mathrm{34,5~cm}^2}{2}$ = 17,25 cm²
hb = $\frac{\mathrm{2\ {\cdot}\ A_D}}{\mathrm{g_b}}$ = $\frac{2 ~\cdot~ 17,25~\mathrm{cm}^2}{5,3~\mathrm{cm}}$ = 6,51 cm
(gerundet auf zwei Nachkommastellen)
b) a = 7,1 cm, b = 3,5 cm und hb = 3,2 cm. Bestimme die Höhe ha.
AD = $\frac{\mathrm{g_b\ {\cdot}\ h_b}}{2}$ = $\frac{3,5~\mathrm{cm}~ \cdot~ 3,2~\mathrm{cm}}{2}$ = $\frac{11,2~\mathrm{cm}^2}{2}$ = 5,6 cm²
ha = $\frac{\mathrm{2\ {\cdot}\ A_D}}{\mathrm{g_a}}$ = $\frac{2~ \cdot ~5,6\mathrm{cm}^2}{7,1~\mathrm{cm}}$ = 1,58 cm
(gerundet auf zwei Nachkommastellen)