1. Anwendungen der Kombinatorik
In einem Kleiderschrank befinden sich drei verschiedene T-Shirts (grün, rot, gelb), zwei verschiedene Hosen (blau und grau).
Wie oft kann man damit sich damit unterschiedlich anziehen, das heißt., dass die T-Shirts und Hosen, die man trägt, nicht gleich sind?
Hieraus ergeben sich folgende Kombinationsmöglichkeiten (oder auch geordnete Paare):
1. grünes T-Shirt und blaue Hose, (grün, blau)
2. grünes T-Shirt und graue Hose, (grün, grau)
3. rotes T-Shirt und blaue Hose, (rot, blau)
4. rotes T-Shirt und graue Hose, (rot, grau)
5. gelbes T-Shirt und blaue Hose, (gelb, blau)
6. gelbes T-Shirt und graue Hose, (gelb, grau)
Die T-Shirts und Hosen lassen sich also 6-mal auf unterschiedliche Weise kombinieren, sodass man 6 verschieden Outfits tragen kann.
Geordnte Paare liegen hier jeweils vor, da die Reihenfolge der Paare eindeutig sein muss.
Daher ist bspw. zu beachten:
(grün, blau) ≠ (blau, grün)
1.1 Darstellung mittels Baumdiagramm
Wie sich alle Paare zusammensetzen, lässt sich sehr anschaulich mittels eines Baumdiagramms darstellen.
2. Produktregel der Kombinatorik
Außen den drei verschiedenen T-Shirts (grün, rot, gelb), den zwei verschiedenen Hosen (blau und grau) befinden sich im Kleiderschrank noch drei verschiedene Paar Socken (weiß, grau, braun).
Wie viele verschiedene Outfit ergeben sich nun?
Hieraus ergeben sich diese Kombinationsmöglichkeiten (oder auch geordnete Tupel):
1. grünes T-Shirt und blaue Hose und weiße Socken, (grün, blau, weiß)
2. grünes T-Shirt und graue Hose und weiße Socken, (grün, grau, weiß)
3. grünes T-Shirt und blaue Hose und graue Socken , (grün, blau, grau)
4. grünes T-Shirt und graue Hose und graue Socken , (grün, grau, grau)
5. grünes T-Shirt und blaue Hose und braune Socken, (grün, blau, braun)
6. grünes T-Shirt und graue Hose und braune Socken, (grün, grau, braun)
7. rotes T-Shirt und blaue Hose und weiße Socken, (rot, blau, weiß)
8. rotes T-Shirt und graue Hose und weiße Socken, (rot, grau, weiß)
9. rotes T-Shirt und blaue Hose und graue Socken, (rot, blau, grau)
10. rotes T-Shirt und graue Hose und graue Socken, (rot, grau, grau)
11. rotes T-Shirt und blaue Hose und braune Socken, (rot, blau, braun)
12. rotes T-Shirt und graue Hose und braune Socken, (rot, grau, braun)
13. gelbes T-Shirt und blaue Hose und weiße Socken, (gelb, blau, weiß)
14. gelbes T-Shirt und graue Hose und weiße Socken, (gelb, grau, weiß)
15. gelbes T-Shirt und blaue Hose und graue Socken, (gelb, blau, grau)
16. gelbes T-Shirt und graue Hose und graue Socken, (gelb, grau, grau)
17. gelbes T-Shirt und blaue Hose und braune Socken, (gelb, blau, braun)
18. gelbes T-Shirt und graue Hose und braune Socken, (gelb, grau, braun)
Es ist sehr mühsam, die Anzahl sämtliche Möglichkeiten, die man miteinander kombinieren kann, auf diese Art zu bestimmen. Daher ist es sinnvoll, die genaue Anzahl mathematisch zu bestimmen.
Hier bei diesen Beispielen gibt es die folgende Mengen: T-Shirts, Hosen und Socken, abgekürzt: T, H, S. Diese drei verschiedene Mengen besitzen jeweils unterschiedliche Elemente.
T-Shirts: grün, rot, gelb; Hosen: blau, grau; Socken: weiß, grau, braun.
Mathematisch kann man das folgendemaßen wiedergeben:
T = {gelb, grau, weiß}, besser: T = {t1, t2, t3}
H = {blau, grau}, besser: H = {h1, h2}
S = {weiß, grau, braun}, besser: S = {s1, s2, s3}
∣T∣: Die Mächtigkeit bzw. Anzahl der Menge T beträgt drei.
∣H∣: Die Mächtigkeit bzw. Anzahl der Menge H beträgt zwei.
∣S∣ Die Mächtigkeit bzw. Anzahl der Menge S beträgt drei.
Um nun die Anzahl aller Möglichkeiten zu bestimmen, bildet man aus den Elementen der verschiedenen Mengen das sogenannte kartesische Produkt:
T × H × S ={(t, h, s)∣ t ∈ T, h ∈ H, s ∈ S}
∣T × H × S∣ = ∣T∣ · ∣H∣ · ∣S∣ = 3 · 2 · 3 = 18
∣M∣ ist gleich die Mächtigkeit bzw. die Gesamtanzahl
n1 = Anzahl der Möglichkeit in der ersten Kategorie
n2 = Anzahl der Möglichkeit in der zweiten Kategorie
n3 = Anzahl der Möglichkeit in der dritten Kategorie
…
nk = Anzahl der Möglichkeit in der k-ten Kategorie
M = n1 · n2 · n3 … nk