1. Allgemeines zum Kathetensatz des Euklind
Neben dem Satz des Pyhtagoras, dem Höhensatz des Euklid zählt der Kathetensatz des Euklid zur Satzgruppe des Pythagoras. Denn auch hier liegt eine Gesetzmäßigkeit am rechtwinkligen Dreieck vor. Es handelt sich um eine Beziehung über die gegenüber dem rechten Winkel durch die Höhe geteilten Hypotenusenabschnitte und die Katheten des Dreiecks. Bei der vorliegenden Beziehung handelt es sich um zwei Flächengleichungen, ähnlich derjenigen Flächengleichungen wie beim Satz des Pythagoras und dem Höhensatz des Euklid.
2. Der Kathetensatz des Euklid
Bei einem rechtwinklingen Dreieck wird deren Höhe, ausgehend von der Hypotenuse, die gegenüberliegende Seite in die beiden Hypotenusenabschnitte p und q geteilt. Hierbei enspricht die Rechteckfläche aus einem der Hypotenusenabschnitte und der Grundseite des Dreiecks der Quadratfläche einer Kathetenseite.
Dadurch ergeben sich diese Gleichungen:
a2 = c · p und b2 = c · q
Beispiele
1.
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 10 cm und den Hypotenusenabschnitt p = 6 cm. Gesucht ist die Kathete a.
a2 = c · p
a = $\sqrt{\mathrm{c} ~\cdot~ \mathrm{p}}$ | √
a = $\sqrt{\mathrm{c} \cdot \mathrm{p}}$
a = $\sqrt{\mathrm{10\,\,cm} ~\cdot~ \mathrm{6\,\,cm}}$
a = $\sqrt{\mathrm{36\,\,cm^2}}$
a = 6 cm
2.
Es liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor. Die Kathete b = 4 cm und die Hypotenuse c = 5 cm. Berchne den Hypotenusenabschnitt q.
b2 = c · q
q = $\frac{\mathrm{b}^2}{\mathrm{q}}$
q = $\frac{\mathrm{4\,\,cm}^2}{\mathrm{5\,\,cm}}$
q = $\frac{\mathrm{16\,\,cm}^2}{\mathrm{5\,\,cm}}$
q = 3,2 cm
3.
Es ist ein rechtwinkliges Dreieck gegeben. Die Hypotenuse ist c = 13 cm. Die Hypotenusenabschnitte sind p = 5 cm und q = 8 cm. Gesucht sind die Katheten a und b.
a2 = c · p | √
a = $\sqrt{\mathrm{c} \cdot \mathrm{p}}$
a = $\sqrt{\mathrm{13 cm} \cdot \mathrm{5 cm}}$
a = 65 cm2
b2 = c · q | √
b = $\sqrt{\mathrm{c} \cdot \mathrm{q}}$
b = $\sqrt{\mathrm{13 cm} \cdot \mathrm{8 cm}}$
b = 104 cm2
3. Die Umkehrung des Kathetensatz des Euklid
Mittels des Kathetensatz des Euklid kann man bei einem Dreieck überprüfen, ob es rechtwinklig ist oder nicht. Gilt in einem Dreieck, dass gilt: a2 = c · p oder b2 = c · q, dann liegt eine rechtwinkliges Dreieck vor. Wird die Gleichung nicht erfüllt, dann handelt es sich nicht um ein rechtwinkliges Dreieck.
Beispiele:
1.
Es ist eine Dreieck mit der Seite c = 10 cm, dem Hypotenusenabschnitt p = 3,6 cm und a = 6 cm gegeben.
a2 = c · p
(6 cm)2 = 10 cm · 3,6 cm
36 cm2 = 36 cm2
Die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Daher ist das Dreieck rechtwinklig.
2.
Gegeben ist eine Dreieck mit der Seite c = 10 cm, dem Abschnitt p = 6 cm und a = 8 cm. Ist das Dreieck rechtwinklig?
a2 = c · p
(10 cm)2 = 10 cm · 6 cm
100 cm2 = 60 cm2
Die Gleichung ergibt keine wahre Aussage. Deshalb liegt hier kein rechtwinkliges Dreieck vor.