Bruchterme

1. Allgemeines zu Bruchtermen

Ein Bruch kann in seinem Zähler oder Nenner auch Variablen vorweisen. Ist das der Fall, so spricht man von einem Bruchterm. Alle Rechenoperationen, die beim Bruchrechnen vorkommen, das Addieren, das Subtrahieren, das Multiplizieren und das Dividieren von Brüchen, treten wiederum bei Bruchtermen auf. Wenn man daher das Bruchrechnen beherrscht, wird man normalerweise bei den bei Bruchtermen auftretenden Rechenoperationen nicht allzu große Schwierigkeiten haben. Schließlich kennt man nicht nur bereits die Rechenregeln, sondern hat sie auch schon mannigfach angewendet. Aus diesem Grund wird hier zwangsläufig ein Aha-Erlebnis auftreten, da Bruchterme nur besondere Brüche sind.

1.1 Die Definitionsmenge bei Bruchtermen

Da Bruchterme oftmals eine oder mehrere Variablen im Nenner vorweisen, ist deren Definitionsmenge häufig auch eingeschränkt. Bereits in der Grundschule hat man ja in Mathe gelernt, dass der Nenner eines Bruchs nicht gleich null werden darf. Ist nämlich dies der Fall, dann ist dieser Bruch nicht definiert. Das Gleiche gilt ebenso für Bruchterme. Daher lässt sich die Definitionsmenge eines Terms folgendermaßen beschreiben:

Die Definitionsmenge eines Terms beinhaltet immer die Menge aller Zahlen, für die der Term definiert ist. Und gerade bei Bruchtermen ist diese Definitionsmenge oftmals eingeschränkt.

Um die Definitionsmenge bei Bruchtermen zu bestimmen, muss man sich nur vor Augen führen, dass der Nenner nicht gleich null werden darf. Daher setzt man den Nenner einfach gleich null – und löst die hieraus sich ergebende Gleichung auf.

1. Beispiel: Bei diesem Bruchterm soll die Definitionsmenge bestimmt werden:

$\frac{3}{4+\mathrm{x}}$

Der Nenner ist: 4 + x.

Den Nenner setzt man nun gleich null und löst diesen anschließend nach der Variablen x hin auf.

4 + x = 0                  |  – 4

x = –4

Bei x = –4 ist der Bruchterm also nicht definiert.

D = {x Є ℚ | x ≠ –4} oder D = ℚ \ {–4}

2. Beispiel: Bei folgendem Bruchterm soll die Definitionsmenge bestimmt werden:

$\frac{7\mathrm{x}+42}{14–63\mathrm{x}}$

Der Nenner ist: 14 – 63x

Diesen setzt man nun gleich null und löst die Gleichung hin zu Variablen auf:

14 – 63x = 0              |  + 63x

14 = 63x

63x = 14                    |  : 63

x = $\frac{14:7}{63:7}$ = $\frac{2}{9}$

Bei x = $\frac{2}{9}$ ist der Bruchterm also nicht definiert.

D = {x Є ℚ | x ≠ $\frac{2}{9}$}

oder D = ℚ \ {$\frac{2}{9}$} 

2. Das Kürzen von Bruchtermen

Bei einem Bruchterm können einzelne Teile gekürzt werden, wenn im Zähler und Nenner gleiche Faktoren vorliegen. Oftmals muss man diese aber mittels einer Faktorisierung/eines Ausklammerns bilden. Denn – was auch für Brüche gilt, das gilt auch für Bruchterme – Summen kürzen nur die …

Folgendermaßen geht man beim Kürzen von Bruchtermen vor:

• Ein Produkt im Zähler und Nenner bilden
• Den gemeinsame Faktor im Zähler und Nenner kürzen

Ein Bruchterm darf niemals mit der Zahl Null gekürzt werden, da für diese Zahl der Bruchterm nicht definiert ist.

Beim Kürzen ändert sich der Wert des Bruchterms nicht.

Die Zahl oder Variable, mit der ein Bruchterm gekürzt wird, nennt man auch Kürzungsfaktor.

Allgemeine Darstellung des Kürzens bei Bruchtermen

(für b ≠ 0; c ≠ 0)

Nachdem man „c“ im Zähler und im Nenner ausgeklammert/faktorisiert hat, kann man „c“ kürzen. „c“ ist hier der Kürzungsfaktor.

Anhand dieser Bruchterme soll exemplarisch gezeigt werden, wie man kürzt:

1. Beispiel:

$\frac{7x+42}{14–63\mathrm{x}}$  

(für x ≠ $\frac{14}{63}$)

Hier muss man erkennen, dass bei diesem Bruchterm in jedem Einzelterm im Zähler und Nenner der Faktor „7“ enthalten ist. Diesen kann man nun ausklammern.

Siehe hierzu auch unter dem Stoffgebiet Gleichungen bei dem Unterstoffgebiet Terme den Punkt 6 „Das Ausklammer/Faktorisieren bei einer algebraischen Summe“ an.
$\frac{7\cdot (\mathrm{x}+6)}{7\cdot (2–9\mathrm{x})}$

Jetzt darf man den ausgeklammerten Faktor „7“ kürzen. Hierdurch erhält man nun folgenden Bruchterm:
$\frac{x+6}{2–9x}$

2. Beispiel:
$\frac{24\mathrm{x}\mathrm{y}+8{\mathrm{x}}^2}{24\mathrm{y}+8\mathrm{x}}$

(für x ≠ –3y bzw. y ≠ –$\frac{8}{24}$x)

Bei diesem Bruchterm muss man nun erkennen, dass man eine Faktorisierung/ein Ausklammern durchführen kann. Denn sowohl im Zähler als auch im Nenner ist bei jedem Einzelterm die Zahl „8“ als Teiler enthalten. Außerdem weist im Zähler jeder Einzelterm  ein „x“ auf.
$\frac{8\mathrm{x}\cdot (3\mathrm{y}+\mathrm{x})}{8\cdot (3\mathrm{y}+\mathrm{x})}$

Jetzt kann man sowohl die „8“ im Zähler und Nenner kürzen als auch das „3y + x“, da es ebenfalls im Zähler und Nenner als Faktor enthalten ist. Dadurch bleibt folgender Term übrig:

x

Wie man sieht, hat sich nach dem Kürzen der Bruchterm aufgelöst.

Zum Kürzen beim Bruchrechnen siehe auch unter Bruchrechnung, Erweitern und Kürzen 3. Das Kürzen eines Bruchs an.

2.1 Das Erweitern von Bruchtermen

Einen Bruchterm kann man stets erweitern. Hierfür muss man den Zähler und den Nenner des Bruchterms jeweils mit einem gleichen Faktor malnehmen (Die Zahl 0 ist hierbei jedoch ausgeschlossen, da ja dann bei einer Multiplikation der ganze Term gleich null werden würde).  Wie beim Bruchrechnen stellt das Erweitern die Umkehrung des Kürzens dar.

Beim Erweitern ändert sich der Wert des Bruchterms nicht.

Die Zahl oder Variable, mit der ein Bruchterm erweitert wird, nennt man auch Erweiterungsfaktor.

Allgemeine Darstellung des Erweiterns bei Bruchtermen

(für b ≠ 0; c ≠ 0)

Jeweils Zähler und Nenner werden mit „c“ erweitert. „c“ ist hier der Erweiterungsfaktor.

1. Beispiel:

Der Bruchterm $\frac{5\mathrm{x}}{8\mathrm{x}\mathrm{y}}$ soll mit dem Faktor 3 erweitert werden:

$\frac{5\mathrm{x}\cdot 3}{8\mathrm{x}\mathrm{y}\cdot 3}$

Anschließend löst man bei dem Bruchterm das Produkt auf: $\frac{15\mathrm{x}}{24\mathrm{x}\mathrm{y}}$

2. Beispiel: 

Der Bruchterm $\frac{4{\mathrm{x}}^2}{9\mathrm{y}}$ soll mit dem Faktor x erweitert werden:
$\frac{4{\mathrm{x}}^2\cdot \mathrm{x}}{9\mathrm{y}\cdot \mathrm{x}}$

Als nächstes löst man das Produkt auf:
$\frac{4{\mathrm{x}}^3}{9\mathrm{y}\mathrm{x}}$

Zum Erweitern beim Bruchrechnen siehe auch unter Bruchrechnung/Erweitern und Kürzen 2. Das Erweitern eines Bruchs an.

3. Das Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen

Brüche darf man bekanntlich nur Addieren und Subtrahieren, wenn die Nenner gleichnamig sind. Im der Regel muss man die Brüche aber erst gleichnamig machen, in dem man den sogenannten Hauptnenner ermittelt und die Brüche daraufhin erweitert. Das Gleiche, was für Brüche gilt, das gilt nun auch für Bruchterme. Daher muss man bei der Addition und der Subtraktion von Bruchtermen folgendermaßen vorgehen:

• Ermittlung des Hauptnenners. Hierfür müssen alle Nenner in Faktoren zerlegt werden. Der Hauptnenner ist nun immer das Produkt, das sich aus der stets höchsten Potenz aller auftretenden Faktoren zusammensetzt.
• Erweiterung der Brüche auf den Hauptnenner hin. Ist jeder Nenner des Bruchterms in seine Faktoren zerlegt, so kann der Bruch mit den fehlenden Faktoren erweitert werden.
• Zusammenfassen und Vereinfachung der Bruchterme. Alle Bruchterme werden auf einen Bruchstrich geschrieben und jeder einzelne Zähler in Abhängigkeit zu der Erweiterung ausmultipliziert. Anschließend werden gleiche Einzelterme zusammengefasst. Der Nenner ist der gebildete Hauptnenner. Gegebenenfalls kann der Bruch danach noch gekürzt werden.

1. Beispiel:

$\frac{6\mathrm{x}+\mathrm{y}}{8\mathrm{x}\mathrm{y}}$ + $\frac{\mathrm{x}–\mathrm{y}}{{\mathrm{y}}^2}$ – $\frac{1}{8\mathrm{x}}$

Jetzt muss man zuerst alle Nennen in Faktoren zerlegen und darauf achten, dass die höchste Potenz hierbei zum Vorschein kommt.

Der erste Nenner: 8xy = 2³ · x · y; der zweite Nenner: y² = y²; der dritte Nenner: 8x = 8 · x

Hieraus ergibt sich folgender Hauptnenner: 2³ · y² · x = 2³ · x · y²

Achte bei der Bildung des Hauptnenners, dass jeweils die höchste Potenz der vorkommenden Einzelterme als Faktor vorkommt.

$\frac{(6\mathrm{x}+\mathrm{y})\cdot \mathrm{y}}{2^3\mathrm{x}{\mathrm{y}}^2}$ + $\frac{(\mathrm{x}–\mathrm{y})\cdot 2^3\cdot \mathrm{x}}{2^3\mathrm{x}{\mathrm{y}}^2}$ – $\frac{(1)\cdot {\mathrm{y}}^2}{2^3\mathrm{x}{\mathrm{y}}^2}$

Da der Hauptnenner „2³ · x · y²“ ist und der Nenner der ersten Bruches „2³ · x · y“ ist, muss der Zähler mit dem Faktor „y“ erweitert werden. Bei dem zweiten Bruch ist der Nenner „y²„, daher muss man hier den Zähler mit dem Faktor „2³ · x“ erweitern. Bei dem dritten Bruch ist der Nenner „8 · x“, deshalb muss hier der Zähler mit „y²“ erweitert werden.

Im Prinzip muss man jeden Nenner jedes einzelnen Bruchterms jeweils mit dem gleichen Faktor für den Zähler erweitern. Ersetzt man aber hingegen gleich den jeweiligen Nenner durch den gebildeten Hauptnenner, dann kann man sich dies ersparen.

$\frac{(6\mathrm{x}+\mathrm{y})\cdot \mathrm{y}+(\mathrm{x}–\mathrm{y})\cdot 2^3\mathrm{x}–(1)\cdot {\mathrm{y}}^2}{2^3\mathrm{x}{\mathrm{y}}^2}$

Nachdem alle einzelnen Bruchterme auf einen Bruchstrich geschrieben wurden, können diese ausmultipliziert werden.

$\frac{6\mathrm{x}\mathrm{y}+{\mathrm{y}}^2+2^3{\mathrm{x}}^2–2^3\mathrm{x}\mathrm{y}–{\mathrm{y}}^2}{2^3\mathrm{x}{\mathrm{y}}^2}$

Achte beim Ausmultiplizieren auf die geltende Vorzeichenregel bei einem Produkt.

$\frac{–2\mathrm{x}\mathrm{y}+2^3{\mathrm{x}}^2}{2^3\mathrm{x}{\mathrm{y}}^2}$

Die Einzelterme „6xy“ und „–2³xy“ lassen sich zu „–2xy“ zusammenfassen, „y²“ und „–y²“ eliminieren sich.

$\frac{2\mathrm{x}\cdot (–\mathrm{y}+2^2\mathrm{x})}{2\mathrm{x}\cdot 2^2{\mathrm{y}}^2}$

Der Faktor „2x“ kann jetzt gekürzt werden.

$\frac{–\mathrm{y}+2^2\mathrm{x}}{2^2{\mathrm{y}}^2}$

Die reine Zahlen-Potenz löst man danach auf:

$\frac{–\mathrm{y}+4\mathrm{x}}{4{\mathrm{y}}^2}$

Danach kann man den Bruchterm noch hinsichtlich der vorkommenden Einzelterme ordnen.

$\frac{4\mathrm{x}-\mathrm{y}}{4{\mathrm{y}}^2}$

Das ist schließlich der Bruchterm, der nach der Addition und Subtraktion der einzelnen Bruchterme entsteht.

2. Beispiel:

$\frac{{\mathrm{x}}^2+8}{4{\mathrm{x}}^2}$ + $\frac{–5{\mathrm{x}}^2+3}{2\mathrm{x}}$ – $\frac{5\mathrm{x}+2}{4}$ + $\frac{7}{3{\mathrm{x}}^2}$

Zerlegen aller Terme im Nenner hin zur jeweils höchsten Potenz.

Der erste Nenner: 4x² = 2² · x²; der zweite Nenner: 2x = 2 · x; der dritte Nenner: 4 = 2²; der vierte Nenner: 3x² = 3 · x²

Der Hauptnenner ist nun folgender: 2² · x² · 3 = 3 · 2² · x²

$\frac{({\mathrm{x}}^2+8)\cdot 3}{3\cdot 2^2{\mathrm{x}}^2}$ + $\frac{(–5{\mathrm{x}}^2+3)\cdot 2\cdot 3\cdot \mathrm{x}}{3\cdot 2^2{\mathrm{x}}^2}$ –$\frac{(5\mathrm{x}+2)\cdot 3{\mathrm{x}}^2}{3\cdot 2^2{\mathrm{x}}^2}$ + $\frac{7\cdot 2^2}{3\cdot 2^2{\mathrm{x}}^2}$

Da der Hauptnenner „3 · 2² · x²“ ist und der Nenner des ersten Bruches „4 · x²“ ist, muss dieser Bruch mit dem Faktor „3“ erweitert werden. Beim zweiten Bruch ist der Nenner „2x“. Daher muss dieser mit den Faktoren „3 · 2 · x“ erweitert werden. Der dritte Bruch weist den Nenner „4“ auf. Deshalb muss man diesen mit den Faktoren „3 · x²“ erweitern. Der letzt Bruch hat den Nenner „3 · x²„. Hieraus ergibt sich, dass jener mit dem Faktor „2²“ erweitert werden muss.

$\frac{({\mathrm{x}}^2+8)\cdot 3+(–5{\mathrm{x}}^2+3)\cdot 2\cdot 3\cdot \mathrm{x}–(5\mathrm{x}+2)\cdot 3{\mathrm{x}}^2+7\cdot 2^2}{3\cdot 2^2{\mathrm{x}}^2}$

Wenn alle Bruchterme auf einem Bruchstrich stehen, kann mit dem Ausmulitplizieren begonnen werden.

$\frac{3{\mathrm{x}}^2+24–30{\mathrm{x}}^3+18\mathrm{x}–15{\mathrm{x}}^3–6{\mathrm{x}}^2+28}{3\cdot 2^2{\mathrm{x}}^2}$

Die Einzelterme „–30x³“ und „–15x³“ lassen sich zu „–45x³“ zusammenfassen. Die Einzelterme „3x²“ und  „–6x²“ zu „–3x²„. Die Einzelterm „24“ und „28“ wiederum zu „52“,

$\frac{–45{\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2+18\mathrm{x}+52}{3\cdot 2^2{\mathrm{x}}^2}$ = $\frac{–45{\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2+18\mathrm{x}+52}{12{\mathrm{x}}^2}$

Das ist schließlich der mittels Addition und Subtraktion der einzelnen Bruchterme enstandene Bruchterm.

4. Das Multiplizieren von Bruchtermen

Das Multiplizieren bei Bruchtermen geht genauso vonstatten wie bei ganz normalen Brüchen. Demzufolge gilt bei einer Multiplikation von Bruchtermen folgende Regel:

• Beim Multiplizieren von Bruchtermen müssen sowohl die Zähler als auch die Nenner miteinander malgenommen werden.

Allgemeine Darstellung der Multiplikation von Bruchtermen

(für b ≠ 0, d ≠ 0)

1. Beispiel:

$\frac{4\mathrm{a}}{5\mathrm{b}}$ · $\frac{3\mathrm{x}}{4\mathrm{y}}$ = $\frac{4\mathrm{a}\cdot 3\mathrm{x}}{5\mathrm{b}\cdot 4\mathrm{y}}$ = $\frac{12\mathrm{a}\mathrm{x}}{20\mathrm{b}\mathrm{y}}$

Der Faktor „12“ im Zähler und der Faktor „20“ im Nenner des Bruchterms haben noch den gemeinsamen Teiler „4“. Daher kann der Bruchterm noch durch „4“ gekürzt werden.

$\frac{12\mathrm{a}\mathrm{x}}{20\mathrm{b}\mathrm{y}}$ = $\frac{4\cdot 3\mathrm{a}\mathrm{x}}{4\cdot 5\mathrm{b}\mathrm{y}}$ = $\frac{3\mathrm{a}\mathrm{x}}{5\mathrm{b}\mathrm{y}}$

Das Kürzen kann auch bereits, wie man es beim Bruchrechnen gelernt hat, während der Multiplikation durchgeführt werden.

$\frac{3\mathrm{a}\mathrm{x}}{5\mathrm{b}\mathrm{y}}$

Das ist der mittels Multiplikation entstandene Bruchterm.

2. Beispiel

$\frac{2\mathrm{x}+3\mathrm{y}}{3\mathrm{x}}$ · $\frac{3\mathrm{y}}{5\mathrm{x}}$ = $\frac{(2\mathrm{x}+3\mathrm{y})\cdot 3\mathrm{y}}{3\mathrm{x}\cdot 5\mathrm{x}}$ = $\frac{6\mathrm{x}\mathrm{y}+9{\mathrm{y}}^2}{15{\mathrm{x}}^2}$ = $\frac{3\cdot (2\mathrm{x}\mathrm{y}+3{\mathrm{y}}^2)}{3\cdot (5{\mathrm{x}}^2)}$ = $\frac{2\mathrm{x}\mathrm{y}+3{\mathrm{y}}^2}{5{\mathrm{x}}^2}$

Im Zahler die Faktoren „6“ und „9“ sowie im Nenner der Faktor „15“ können jeweils durch „3“ geteilt werden.

$\frac{2\mathrm{x}\mathrm{y}+3{\mathrm{y}}^2}{5{\mathrm{x}}^2}$

Das ist der endgültige Bruchterm.

5. Das Dividieren von Bruchtermen

Genauso wie das Multiplizieren von Bruchtermen auf dem normalen Bruchrechnen basiert, so ist das auch beim Dividieren der Fall. Hierbei gilt daher für die Division folgende Regel.

• Zwei Bruchterme werden miteinander dividiert, indem der erste Bruchterm mit dem Kehrwert des zweiten Bruchterms multipliziert wird.

Beim Kehrwert eines Bruches wird einfach der Zähler und der Nenner des Bruchs umgedreht.

Allgemeine Darstellung der Division von Bruchtermen

(für b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0)

1. Beispiel:

$\frac{3\mathrm{a}}{7\mathrm{b}}$ : $\frac{4\mathrm{x}}{5\mathrm{y}}$ = $\frac{3\mathrm{a}}{7\mathrm{b}}$ · $\frac{5\mathrm{y}}{4\mathrm{x}}$ = $\frac{3\mathrm{a}\cdot 5\mathrm{y}}{7\mathrm{b}\cdot 4\mathrm{x}}$ = $\frac{15\mathrm{a}\mathrm{y}}{28\mathrm{b}\mathrm{x}}$

Das ist der mittels Division entstandene Bruchterm.

2. Beispiel:

$\frac{2\mathrm{a}+3\mathrm{b}}{4\mathrm{x}}$ : $\frac{2\mathrm{x}}{4\mathrm{b}}$ = $\frac{(2\mathrm{a}+3\mathrm{b})}{4\mathrm{x}}$ · $\frac{4\mathrm{b}}{2\mathrm{x}}$

Hier kann man „über Kreuz“ beim Nenner des ersten Bruchterms das „4“ und beim Zähler des zweiten Bruchterms das „4“ kürzen.

$\frac{(2\mathrm{a}+3\mathrm{b})}{4\mathrm{x}}$ · $\frac{4\mathrm{b}}{2\mathrm{x}}$ = $\frac{(2\mathrm{a}+3\mathrm{b})\cdot \mathrm{b}}{\mathrm{x}\cdot 2\mathrm{x}}$ = $\frac{2\mathrm{a}\mathrm{b}+3{\mathrm{b}}^2}{2{\mathrm{x}}^2}$

Das ist der mittels Division entstandene Bruchterm.