Zahlenfolgen

1. Allgemeines zu Zahlenfolgen

Eine Zahlenfolge kann man sich sehr gut über deren Definition erschließen:

Definition Zahlenfolge:

Bei einer Zahlenfolge a_n sind Zahlen folgendermaßen in einer festen Reihenfolge angeordnet: (a_n) = a₁, a₂, a₃, a₄, … Die erste Zahl der Zahlenfolge ist a₁, die zweite Zahl a₂, die dritte Zahl a₃ usw.

Die Zahlen einer Zahlenfolge werden als Folgeglieder bezeichnet.

Durch den Index n wird die Nummer des Folgegliedes angegeben. Die Indexmenge umfasst die Menge der reellen Zahlen.

Zahlenfolgen beinhalten in der Regel auch diese Merkmale:

• Die Folgeglieder können mittels bestimmter Formeln oder Regeln ermittelt werden.

• Zahlenfolgen können endlich oder unendlich sein.

Beispiele für Zahlenfolgen:

a_n = 2, 4, 6, 8, 10, 12 …

Hier liegt die Folge der geraden Zahlen vor. Die Indexmenge umfasst hier die natürlichen Zahlen. Demzufolge muss bei den Einern stets eine 2, 4, 6, 8 oder 0 auftreten.

a_n = 1, 3, 5, 7, 9, 11 …

Hier liegt die Folge der ungeraden Zahlen vor. Die Indexmenge umfasst hier die natürlichen Zahlen. Demzufolge muss bei den Einern stets eine 1, 3, 5, 7 oder 9 auftreten.

2. Das Bildungsgesetz bei Zahlenfolgen

Aus mathematischer Sicht ist es absolut unbefriedigend, die Folgeglieder einer Zahlenfolge nur bestimmen zu können, indem man zwischen den einzelnen Gliedern eine Regelmäßigkeit feststellt und diese dann anwendet. Um das xte Glied einer Folge bestimmen zu können, müsste man dann die ermittelte Regelmäßigkeit bis zum xten Glied anwenden – das ist ziemlich müselig und vor allem unbefriedigend.

Viel ökonomischer aus mathematischer Sicht ist da eine Formel bzw. ein Bildungsgesetz für die Zahlenfolge, mit der man sofort das xte Glied berechnen kann.

2.1 Explizite Darstellung bei Zahlenfolgen

Beispiel 1

Es ist folgende Zahlenfolge gegeben: a_n = 2, 4, 6, 8, 10, 12

Es handelt sich hier um die Zahlenfolge der geraden Zahlen. Die Zahlenfolge beginnt bei der Zahl 2 und – wie man unschwer erkennen kann – liegt zwischen den einzelnen Gliedern die Regel „+ 2“ zugrunde.

Wenn man die Glieder der Folge bis Glied n₅ bildlich darstellt, dann sieht die Folge wie folgt aus:

Bei n = 1 ist die Zahlenfolge 2, bei n = 2 ist sie 4, bei n = 3 ist 6, bei n = 4 ist sie 8 und bei n = 5 ist sie 10.

n₁ = 2, n₂ = 4, n₃ = 6, n₄ = 8, n₅ = 10

Hieraus lässt sich dieses Bildungsgesetz bzw. diese Formel ableiten:

a_n = 2 · n bzw. a_n = 2n

Denn an jeder Stelle des Gliedes liegt das 2-Fache von n vor.

Die explizite Darstellung der Zahlenfolge der geraden Zahlen lautet demzufolge:

a_n = 2n und n є ℕ

Mittels der expliziten Darstellung kann man nun an jeder beliebigen Stelle n das Glied der Zahlenfolge berechnen.

n = 16, a₁₆ = 2 · 16 = 32

n = 524, a₅₂₄ = 2 · 524 = 1048

Beispiel 2

Es ist diese Zahlenfolge gegeben:

a_n = 1, 3, 5, 7, 9, 11

Hier liegt die Zahlenfolge der ungeraden Zahlen vor. Die Folge beginnt bei 1 und weist den Abstand zwischen den einzelnen Gliedern „+ 2“ auf.

Wenn man die Glieder der Folge bis Glied n₅ bildlich darstellt, dann sieht die Folge folgendermaßen aus:

Bei n = 1 ist die Zahlenfolge 1, bei n = 2 ist sie 3, bei n = 3 ist sie 5, bei n = 4 ist sie 7, bei n = 5 ist sie 9.

n₁ = 1, n₂ = 3, n₃ = 5, n₄ = 7, n₅ = 9

Hieraus lässt sich dieses Bildungsgesetz bzw. diese Formel ableiten:

a_n = 2 · n – 1 bzw. a_n = 2n – 1

Denn an jeder Stelle liegt das Zweifache von n minus 1 vor.

Die explizite Darstellung der Darstellung der geraden Zahlen lautet daher:

a_n = 2n – 1 und n є ℕ

Mittels der expliziten Darstellung kann man nun an jeder beliebigen Stelle n das Glied der Zahlenfolge berechnen:

n = 25, a₂₅ = 2 · 25 – 1 = 50 – 1 = 49

n = 719; a₇₁₉ = 2 · 719 – 1 = 1438 – 1 = 1437

2.2 Rekursive Darstellung bei Zahlenfolgen

Beispiel 1

Es ist die wiederum die Zahlenfolge der geraden Zahlen gegeben:

a_n = 2, 4, 6, 8, 10, 12

Die bildliche Darstellung sieht wie folgt aus:

Bei der rekursiven Dastellung wird immer auf das vorhergehende Glied zurückgegriffen, das an der Stelle n mitenthalten ist.

Bei n₂ = 4 ist die 2 des vorherigen Gliedes enthalten „+ 2“, bei n₃ = 6 ist die 4 des vorherigen Gliedes enthalten „+ 2“, bei n₄ ist die 6 des vorherigen Gliedes enthalten „+ 2“ usw.

Hieraus lässt sich folgende rekursive Darstellung ableiten:

a_n = a_{n – 1} + 2 mit a₁ = 2 und n ∈ ℕ > 1

Den Anfangswert (hier a₁ = 2) muss man bei der rekursiven Darstellung immer mitangeben, da dieser ja immer unterschiedlich sein kann. Auch muss man mitangeben, dass der Startwert für n > 1 ist. Denn die rekursive Darstellung beginnt immer erst ab n > 1.

Beispiel 2

Es ist auch erneut die Zahlenfolge der ungeraden Zahlen gegeben:

an = 1, 3, 5, 7, 9, 11

Die bildliche Darstellung sieht folgendermaßen aus:

Wie gesagt, wird bei der rekursiven Darstellung immer auf das vorhergende Glied zurückgegriffen, das an der Stelle n mitenthalten ist.

Bei n₂ = 3 ist die 1 des vorherigen Gliedes enthalten „+ 2“, bei n₃ = 5 ist die 3 des vorherigen Gliedes enthalten „+ 2“, bei n₄ = 7 ist die 5 des vorherigen Gliedes enthalten „+ 2“.

Hieraus lässt sich folgende rekursive Darstellung ableiten:

a_n = a_{n – 1} + 2 mit a₁ = 1 und n ∈ ℕ > 1

Der große Nachteil der rekursvien Darstellung gegenüber der expliziten Darstellung ist, dass man hier nicht das Glied an einer beliebigen Stelle berechnen kann, da man ja immer wissen muss, wie das Glied davor ist.