1. Allgemeines zur Polynomdivision
In der Algebra und der Analysis kommt es des Öfteren einmal vor, dass man eine sogenannte Polynomdivision durchführen muss. Man hat bspw. bei einer Aufgabe diesen Bruchterm ${\frac{\mathrm x^3~-~2\mathrm x^2~-~\mathrm x~+~2}{\mathrm x~+~2}}$ = 0 als Gleichung oder diese ganzrationale Funktion: f(x) = x3 – 3x2 – 4x + 12. Man soll nun hier bestimmte Werte, wie z. B. Nullstellen, ermitteln. Dann kann man das nicht ohne Weiters mit den in der Schule normalerweise sich angeeigneten Verfahren (wie p-q-Formel oder Mitternachtsformel). Deshalb greift man hier auf eine Polynomdivision zurück.
2. Anwendung der Polynomdivision
Beispiel 1
Es ist diese Gleichung mit folgendem Bruchterm gegeben:
${\frac{\mathrm x^3~-~2\mathrm x^2~-~\mathrm x~+~2}{\mathrm x~+~2}}$ = 0
D = {x Є R | x ≠ –2} oder D = ℚ \ {–2}
Man soll nun bei der Gleichung deren Nullstellen ermitteln. Da es sich hier um einen Bruchterm handelt, dessen Nenner bei x = 2 gleich 0 werden würde, der Definitonsbereich das aber ausschleißt, kann man eine Polynomdivision durchführen. Denn „x – 2“ ist der Divisior, mit dem man den Bruchterm vereinfachen kann.
Einen Bruchterm kann man aber nur dann vereinfachen, wenn der Zähler und der Nenner eine Zahl vorweisen, die beide – den Zähler und den Nenner! – gleich null werden lassen. Ist das der Fall, dann hat man den Divisor der Polynomdivsion. Der Divisior ist immer „x – gefundene Zahl“, also bspw. bei der Zahl 3: x = – 3 und bei der Zahl –3: x = – (–3) = x + 3 (Hier gilt natürlich auch die Vorzeigenregel!)
Bei dem Bruchterm ist der Divisor: x – 2.
Die Polynomdivision sieht nun wie folgt aus:
x3 – 2x2 – x + 2 : (x – 2).
Der Term vor dem Teiler ist der Dividend, der Term danach der Divisor. Das Ganze ist der Dividend. Das alles kennt man schon aus der Grundschule, als man dort Divisionen durchführen musste. Das Gleiche macht man nun aber mit Termen (Polynomen)!
x3 – 2x2 – x + 2 : (x – 2) = x2 – 1
$\underline{-\text{x}^3 + 2\text{x}^2}$
0
– x + 2
$\underline{-~\text{x} + 2}$
0
Die Polynomdivision funktioniert nun folgendermaßen:
Man nimmt das x vom Divisior und teilt es durch den ersten Term (Polynom), also x3. Dadurch bekommt man als Ergebnis das x2. Das x2 nimmt man nun Schritt für Schritt mit dem (x – 2) mal und schreibt das Ergebnis unterhalb des ersten Terms. x2 mal x = x3, –x3, da man es abzieht, x2 mal (–2) = –2x2, da man es abzieht – (–2x2) = + 2x2. Darunter macht man ein Strich und schreibt eine 0. Dadurch bleibt beim Dividend nur noch das – x + 2 übrig.
Jetzt nimmt man wiederum das x vom Divisor und teilt es durch den Term (Polynom), der noch übrig ist, also: –x. Dadurch bekommt man als weiteres Ergebnis – 1. Das – 1 nimmt man nun wiederum Schritt für Schritt mit dem (x – 2) mal und schreibt das Ergebnis unterhalb des noch übrigen Terms. Das – 1 mal x = x; – x, da man es abzieht. (–1) mal (–2) = 2, – 2, da man es abzieht. Darunter macht man wiederum einen Strich und schreibt die 0. Damit ist die Polynomdivision abgeschlossen.
Der durch die Polynomdivision erhaltene Term (Polynom) ist nun: x2 – 1. Bei der Gleichung mit diesem Term kann man nun problemlos die Nullstellen ermitteln, da es sich hier um eine reinquadratische Gleichung handelt, die die 3. binomische Formel in der aufgelösten Form vorweist.
x2 – 1 = (x + 1) · (x – 1)
x1 = – 1 und x2 = 1 sind die Nullstellen der Gleichung.
Beispiel 2
Bevor man eine Polynomdivision durchführen kann, muss man anhand des vorgegebenen Polynoms (Terms) ein systematisches Probieren tätigen, um eine Nullstelle zu finden. Man findet bspw. bei x = 3 eine Nullstelle. Darauf kann man mit der Polynomdivision beginnen.
x3 – 3x2 – 4x + 12 : (x – 3) = x2 – 4
$\underline{-\text{x}^3 + 3\text{x}^2}$
0
– 4x + 12
$\underline{-~4\text{x} -12}$
0
Man nimmt das x vom Divisior und teilt es durch das erste Polynom (Term), also x3. Hierdurch bekommt man das Ergebnis x2. Das x2 nimmt man nun Schritt für Schitt mit (x – 3) mal und schreibt das Ergebnis unterhalb des ersten Terms (Polynom). x2 mal x = x3, – x3, da man es abzieht, x2 mal (–3) = –3x2, da man es abzieht – (–3x2) = + 3x2. Darunter macht man einen Strich und schreibt eine 0. Hierdurch bleibt beim Divident nur noch das – 4x + 12 übrig.
Nun nimmt man wiederum das x vom Divsor und teils es durch das Polynom (Term), das noch übrig ist, also: – 4x. Hierdurch bekommt man als weiteres Ergebnis – 4. Das – 4 nimmt man nun wiederum Schritt für Schritt mit dem (x – 3) mal und schreibt das Ergebnis unterhalb des noch übrigen Polynoms (Terms). Das –4 mal x = – 4x, + 4x, da man es abzieht. – 4 mal (-3) = 12. – 12, da man es abzieht. Darunter macht man wiederum einen Strich und schreibt die 0. Die Polynomdivision ist somit beendet.
Den durch die Polynomdivision erhaltenen Term (Polynom) ist: x2 – 4. Bei der Gleichung mit diesem Term kann man nun wiederum sehr einfach deren Nullenstellen berechnen, da es sich um eine reinquadratische Gleichung handelt.
x2 – 4 = 0
(x – 2) · (x + 2) = 0
Die weiteren Nullstellen sind , x = 2, x = – 2
Die Funktion weist also folgende Nullstellen auf:
x1 = 3, x2 = 2, x3 = – 2
Beispiel 3
Es ist folgende Funktion gegeben:
f(x) = x3 – 4x2 – 7x + 10.
Ermittle die Nullstellen der Funktion.
Durch systematische Probieren findet man bspw. heraus, dass x = 1 eine Nullstelle der Funktion darstellt.
Polynomdivision:
x3 – 4x2 – 7x + 10 : (x – 2) = x2 – 3x – 10
$\underline{-\text{x}^3 + \text{x}^2}$
– 3x2 – 7x
$\underline{+~\text{x}^2 ~-~ 3\text{x}}$
– 10x + 10
$\underline{+~10\text{x} ~+~ 10}$
0
Am Ende der Polynomdivision erhält man folgende Gleichung:
x2 – 3x – 10.
Hier kann man nun mittels der p-q-Formel die weitern Nullstellen bestimmen.
x1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 ~+~ 10}$
x1,2 = 1,5 ± $\sqrt{2,25 ~+~ 10}$
x1,2 = 1,5 ± $\sqrt{12,25}$
x1,2 = 1,5 ± 3,5
x1 = 1,5 – 3,5
x1 = –2
x2 = 1,5 + 3,5
x2 = 5
Die weiteren Nullstenen sind: x1 = –2 und x2 = 5.
Die Funktion besitzt folgende Nullstellen:
x1 = –2, x2 = 2, x3 = 5.