1. Definition eines allgemeinen Dreiecks
Ein allgemeines Dreieck kann in Mathe jegliche Winkel vorweisen. Hierbei gibt es keinerlei Beschränkung (außer natürlich, dass die Winkelsumme eines Dreiecks immer 180° betragen muss). Im Normalfall ist aber ein allgemeines Dreieck eines, das entweder nur aus spitzen Winkeln besteht (d. h. dass jeder Winkel < 90° ist) oder einen stumpfen Winkel vorweist ( Winkel > 90° und < 180°). Ein allgemeines Dreieck kann aber auch rechtwinklig sein. Das schließt sich zwar nicht aus, kommt jedoch sehr selten vor – zumindest nicht, wenn es um Mathematik-Aufgaben geht, die die Anwendung des Sinus- oder des Kosinussatzes beinhalten. Allgemeines Dreieck
2. Der Sinussatz
An jedem allgemeinen Dreieck gilt folgende Gesetzmäßigkeit: Quotienten aus Seitenlänge und dem gegenüberliegenden Sinuswert des Winkels weisen jeweils den gleichen Wert auf. In der Sprache der Mathematik wiedergeben heißt das:
$\frac{\mathrm{a}}{\sin \mathrm{\alpha}}$ = $\frac{\mathrm{b}}{\sin \mathrm{\beta}}$ = $\frac{\mathrm{c}}{\sin \mathrm{\gamma}}$
Diese Gesetzmäßigkeit nennt man den Sinussatz.
Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Beim Sinussatz handelt es sich um eine Quotientengleichung, bei der man je nach Aufgabenstellung stets zwei der Quotienten auswählen muss und schließlich die Gleichung nach der unbekannten Größe hin auflösen muss.
1. Beispiel:
In einem Dreieck ABC sind c = 6 cm, a = 4 cm und α = 30°.
Berechne die Seitenlänge b sowie die Winkel β und γ.
Die Seitenlänge c, a und der Winkel α sind gegeben. Daher ist die heranzuziehende Quotientengleichung: ${\frac{a}{sin~\alpha}}$ = $\frac{c}{sin~\gamma}$
Diese Gleichung löst man nun nach der unbekannten Größe, dem Winkel γ, hin auf.
${\frac{a}{sin~\alpha}}$ = $\frac{c}{\sin ~\gamma}$
${\frac{sin~\alpha}{a}}$ = $\frac{sin~\gamma}{c}$
Ist die gesuchte Größe bei der Quotientengleichung im Nenner, so macht zunächst ein „doppelter“ Kehrwert der Gleichung am meisten Sinn. Denn so kann man die gesuchte Größe immer am schnellsten separieren.
${\frac{sin~\alpha}{a}}$ = $\frac{sin~\gamma}{c}$ | · c
${\frac{sin~\alpha\ {\cdot} \ c}{a}}$ = sin γ
sin γ = ${\frac{sin~\alpha\ {\cdot} \ c}{a}}$
sin γ = ${\frac{sin~30^\circ\ {\cdot} \ 6~cm}{4~cm}}$
sin γ = 0,75 | sin–1
γ = 49° (gerundet auf eine ganzzahlige Gradzahl)
Über die Winkelsumme in einem Dreieck, die immer 180° beträgt, kann man nun den Winkel β bestimmen. β = 180° – (α + γ) = 180° – (30° + 49°) = 101°
Jetzt kann man über den Sinussatz die Seitenlänge b ermitteln.
${\frac{a}{sin~\alpha}}$ = $\frac{b}{\sin \beta}$
Man hätte genauso zur Ermittlung der Seitenlänge b diesen Sinussatz heranziehen können:
${\frac{b}{sin~\beta}}$ = $\frac{c}{sin~\gamma}$
${\frac{a}{sin~\alpha}}$ = $\frac{b}{\sin \beta}$ | · sin β
${\frac{a\ {\cdot} \ sin\beta}{sin~\alpha}}$ = b
b = ${\frac{a\ {\cdot} \ sin~\beta}{sin~\alpha}}$
b = ${\frac{4~cm\ {\cdot} \ sin~101^\circ}{sin~30^\circ}}$
b = 7,85 cm (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
2. Beispiel:
In einem Dreieck ABC ist a = 7,3 cm, α = 75° und β = 31°.
Berechne die Seitenlängen b und c sowie den Winkel γ.
Den Winkel γ kann man sofort bestimmen, da ja die Winkelsumme in einem Dreieck immer 180° beträgt. γ = 180 – (α + β) = 180° – (75° + 31°) = 74°.
Über den Sinussatz kann man nun die gesuchten Seitenlängen b und c ermitteln.
${\frac{a}{sin~\alpha}}$ = $\frac{b}{sin~\beta}$ | · sin β
${\frac{a\ {\cdot} \ sin~\beta}{sin~\alpha}}$ = b
b = ${\frac{a\ {\cdot} \ sin~\beta}{sin~\alpha}}$
b = ${\frac{7,3~cm\ {\cdot} \ sin~31^\circ}{sin~75^\circ}}$
b = 3,89 cm (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
Jetzt kann man wiederum über den Sinussatz die Seitenlänge c berechnen.
${\frac{a}{sin~\alpha}}$ = $\frac{c}{\sin \gamma}$ | · sin γ
Zur Ermittlung der Seitenlänge c kann man auch diese Ouotientengleichung des Sinussatzes heranziehen:
${\frac{b}{sin~\beta}}$ = $\frac{c}{\sin \gamma}$
${\frac{a\ {\cdot} \ sin~\gamma}{sin~\alpha}}$ = c
c = ${\frac{a\ {\cdot} \ sin~\gamma}{sin~\alpha}}$
c = ${\frac{7,3~cm\ {\cdot} \ sin~74^\circ}{sin~75^\circ}}$
c = 7,26 cm (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
3. Der Kosinussatz
In jedem allgemeinen Dreieck gelten zudem folgende Gesetzmäßigkeiten:
a2 = b2 + c2 – 2bc · cos α
b2 = a2 + c2 – 2ac · cos β
c2 = a2 + b2 – 2ab · cos γ
Diese Gesetzmäßigkeit wird als Kosinussatz bezeichnet.
1. Beispiel:
Bei einem Dreieck ABC sind die Seitenlänge b = 7 cm und c = 9 cm und der Winkel α = 35° gegeben.
Berechne die Seitenlänge a und die Winkel β und γ.
Immer wenn zwei Seitenlängen und der Winkel von der gesuchten Seitenlänge gegeben sind, kann man nur den Kosinussatz zur Berechnung aller zur ermittelnden Größen heranziehen.
Beim Kosinussatz gilt hier:
a2 = b2 + c2 – 2bc · cos α | √
a = $\sqrt{b^{2} + c^{2}~ – ~2 b c \cdot \cos \alpha}$
a = $\sqrt{(7~cm)^{2}+(9~cm)^{2}-2\ {\cdot} \ 7~cm \ {\cdot} \ 9~cm\ {\cdot} \ cos~35^\circ}$
a = $\sqrt{130~cm^{2}-103,21~cm^{2}}$
a = $\sqrt{26,79~cm^{2}}$
a = 5,18 cm (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
Beim Kosinussatz gilt:
b2 = a2 + c2 – 2ac · cos β
Die Gleichung kann man nun nach dem Winkel β hin auflösen.
Sind drei Seitenlängen und ein Winkel gegeben, so kann man die fehlenden Winkel auch über den Sinussatz und über die Winkelsumme im Dreieck bestimmen.
b2 = a2 + c2 – 2ac · cos β | – (a2 +c2)
b2 – a2 – c2 = – 2ac · cos β | : (–2ac)
$\frac{b^{2} – a^{2} – c^{2}}{-2 a c}$ = cos β
cos β = $\frac{b^{2} – a^{2} – c^{2}}{-2 a c}$
cos β = ${\frac{-58,83~cm^{2}}{– 93,24~cm^{2}}}$
cos β = 0,631 (gerundet auf drei Nachkommastellen) | cos–1
β = 51° (gerundet auf eine ganzzahlige Gradzahl)
Man hätte genauso über die Gleichung c2 = a2 + b2 – 2ab · cos γ und über die Bestimmung des Winkels γ dasselbe Ergebnis herausbekommen.
Über die Winkelsumme im Dreieck kann man nun den Winkel γ bestimmen.
γ = 180° – (α + β) = 180° – (35° + 51°) = 94°
2. Beispiel:
In einem Dreieck ABC sind die Seitenlängen a = 3,8 cm, b = 5,1 cm und c = 4,4 cm.
Berechne die Winkel α, β und γ.
Bei drei gegebenen Seitenlängen in einem Dreieck und keinem gegebenen Winkel kann man zur Ermittlung der fehlenden Winkel nur den Kosinussatz heranziehen.
a2 = b2 + c2 – 2bc · cos α | – (b2 +c2)
a2 – b2 – c2 = – 2bc · cos α | : (– 2bc)
$\frac{a^{2} – b^{2} – c^{2}}{-2 b c}$ = cos α
cos α = $\frac{a^{2} – b^{2} – c^{2}}{-2 b c}$
cos α = $\frac{(3,8\,cm)^{2} – (5,1\,cm)^{2} – (4,4\,cm)^{2}}{-2 \cdot 5,1\,cm \cdot 4,4\,cm}$
cos α = ${\frac{-30,93}{- 44,88 }}$
cos α = 0,689 (gerundet auf drei Nachkommastellen) | cos–1
α = 46° (gerundet auf ganze Gradzahlen)
b2 = a2 + c2 – 2ac · cos β | – (a2 + c2)
Zur Lösung der Aufgabe hätte man auch die Gleichung c2 = a2 + b2 – 2ab · cos γ heranziehen können.
b2 – a2 – c2 = – 2ac · cos β | : (–2bc)
$\frac{b^{2} – a^{2} – c^{2}}{-2 a c}$ = cos β
cos β = $\frac{b^{2} – a^{2} – c^{2}}{-2 a c}$
cos β = $\frac{(5,1\,\mathrm{cm})^{2} – (3,8\,\mathrm{cm})^{2} – (4,4\,\mathrm{cm})^{2}}{-2 \cdot 3,8\,\mathrm{cm} \cdot 4,4\,\mathrm{cm}}$
cos β = $\frac{-7,79}{-33,44\,\mathrm{cm}}$
cos β = 0,233 (gerundet auf drei Nachkommastellen) | cos–1
β = 77° (gerundet auf ganze Gradzahlen)
γ = 180° – (α + β) = 180° – (46° + 77°) = 57°