Primzahlen

1. Die besondere Zahlenmenge der Primzahlen

Eine besondere Zahlenmenge innerhalb der Natürlichen Zahlen stellen die Primzahlen dar – und zwar aus zweierlei Gründen: Die Zahlenfolge der Primzahlen kann man bis heute durch keine einfache Formel wiedergeben; alle Zahlen, die keine Primzahlen sind, können in ein Produkt aus Primzahlen zerlegt werden (Primfaktorenzerlegung).

Definition Primzahlen:

Alle Natürlichen Zahlen, die nur zwei Teiler vorweisen, nennt man Primzahlen. Hierbei ist eine Primzahl nur durch 1 und sich selbst teilbar. Die Zahl 1 ist keine Primzahl.

Bei den Zahlen 1 bis 20 ergeben sich daher als Primzahlen:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Die Zahlen 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 fallen weg, da diese gerade sind und somit auch durch 2 teilbar sind; die 15, da diese auch durch 3 und 5 teilbar ist.

Die kleinste Primzahl ist folglich die 2, auch die einzige, die Gerade ist.

2. Die Primfaktorzerlegung bei Nicht-Primzahlen

Jede natürliche Zahl, die keine Primzahl ist, kann in ein Produkt aus Primzahlen zerlegt werden.

4 = 2 · 2

6 = 2 · 3

8 = 2 · 2 · 2

10 = 2 · 5

12 = 2 · 2 · 3

14= 2 · 7

15 = 3 · 5

16 = 2 · 2 · 2 · 2

18 = 2 · 3 · 3

20 = 2 · 2 · 5

Beispiel: Zerlegung der Zahl 300 in ein Produkt aus Primzahlen:

300 in Primfaktoren: 300 : 10 = 30; 30 : 10 = 3;10 = 5 = 2; 10 : 5 = 2

Wenn man 300 mit dem Teiler 10 teilt, dann erhält man 30. Den Teiler 10 kann man mit dem Teiler 5 teilen und erhält eine 2. Die 30 kann man wieder mit 10 teilen und erhält 3. Die 10 teilt man noch einmal mit 5 und erhält wiederum 2. Jetzt hat man die Zahl 300 in Primzahlen zerlegt. Die Zahl weist zweimal eine 2, eine 3 und zweimal eine 5 als Teiler in Form von Primzahlen auf.

Die Primfaktorzerlegung sieht nun folgendermaßen aus:

300 = 5 · 2 · 5 · 3 · 2 = 2 · 2 · 3 · 5 · 5 = 2² · 3 · 5²

300 in Primfaktoren: 300 : 3 = 100; 100 : 10 = 10; 10 : 5 = 2; 10 : 5 = 2

Wenn man 300 mit dem Teiler 3 teilt, erhält man 100. 100 kann man mit 10 teilen und erhält 10. 10 geteilt durch 5 ergibt 2. Das gilt natürlich auch bei der zweiten Zehn: 10 geteilt 5 ist gleich 2.

Es ergibt sich diese Primfaktorzerlegung.

300

= 3 · 5 · 2 · 5 · 2 = 2 · 2 · 3 · 5 · 5 (als Produkt)

= 2² · 3 · 5² (als Produkt in der Potenzschreibweise)

300 in Primfaktoren: 300 : 2 = 150; 150: 10 = 15; 10 : 2 = 5; 15 : 5 = 3

Wenn man 300 mit 2 teilt, erhält man 150. 150 geteilt durch 10 ist 15. 10 durch 2 = 5. Und 15 geteilt durch 5 ergibt 3.

Die Primfaktorzerlegung ist hier Folgende:

300 = 2 · 2 · 5 · 5 · 3 = 2 · 2 · 3 · 5 · 5 = 2² · 3 · 5²

Wie man sieht, ergeben sich – egal, in welche Teiler man die 300 zerlegt – immer die gleichen und die gleiche Anzahl von Primzahlen und somit immer die gleiche Primfaktorzerlegung.

Bei der Teilbarkeit von Zahlen kann man die Primfaktorzerlegung heranziehen, um mittels Primfaktoren zu ermitteln, was deren größter gemeinser Teiler (ggT) ist oder das kleinste gemeinsame Viefache (kgV).

2.1 Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT)

Es sind die Zahlen 24, 36, 60 gegeben. Man möchte nun herausfinden, welchen größten gemeinsamen Teiler (ggT) diese Zahlen haben. Auf den ersten Blick sieht man sofort, dass alle drei Zahlen gerade sind, also durch 2 teilbar sein müssen. Ist das aber wirklich schon der größte gemeinsame Teiler? Sicherlich nicht. Man kann auch mit einem geübteren Blick sofort erkennen, dass alle Zahlen auch durch 4 teilbar sind (wenn man die 4er Malreihe beherrscht und erkennt, dass 40 + 20 = 60 ist). Ist das aber bereits der größte gemeinsam Teiler? Genau kann man das nicht so einfach sagen. Die Primfaktorzerlegung gibt hierüber aber eine Eindeutigkeit.

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2³ · 3, gleiche Primfaktoren: 2 · 2 · 3 = 2² ·3

36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 2² · 3², gleiche Primfaktoren: 2 · 2 · 3 = 2² ·3

60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 2² · 3 · 5, gleiche Primfaktoren: 2 · 2 · 3 = 2² · 3

Die gemeinsamen Primfaktoren bei den Zahlen 24, 36, und 60 sind also 2² · 3, da diese bei der Primfaktorzerlegung aller Zahlen enthalten sind. Demzufolge ist der größte gemeisame Teiler (ggT): 12 ( 2² · 3 = 12).

Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers (ggT):

Um den größten gemeinsamen Teiler (ggT) bei unterschiedlichen Zahlen zu bestimmen, ermittelt man bei deren Primfaktorzelegung die niedrigsten Potenzen ihrer gemeinsamen Primfaktoren.

Aufgabe:

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler bei den Zahlen 60, 90, 150.

Mittels Primfaktorzerlegung ergibt sich Folgendes:

60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 2² · 3 · 5, gleiche Primfaktoren: 2 · 3 · 5

90 = 2 · 3 · 3 · 5 = 2 · 3² · 5, gleiche Primfaktoren: 2 · 3 · 5

150: 2 · 3 · 5 · 5 = 2 · 3 · 5², gleiche Primfaktoren: 2 · 3 · 5

Der größte gemeinsam Teiler (ggT) = 30 (2 · 3 · 5 = 30)

2.2 Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfaches (kgV)

Es sind die Zahlen 12, 18, 30 gegeben. Man möchte nun ermitteln, welchen kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) diese Zahlen haben.

12 = 2 · 2 · 3 = 2² · 3, höchste Potenz: 2²

18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 3², hochste Potenz: 3²

30 = 2 · 3 · 5 = 2 · 3 · 5, höchste Potenz: 5

Das kleinste gemeinsaem Vielfaches (kgV) der Zahlen 12, 18, 30 ist 2² · 3² · 5 = 180.

Ermitteln des kleinsten gemeinsamen Vielfaches (kgV):

Um das größte gemeinsame Vielfache (kgV) bei unterschiedlichen Zahlen zu bestimmen, ermittelt man bei deren Primfaktorenzerlegung die höchsten Potenzen ihrer auftretenden Primfaktoren.

Aufgabe:

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) bei den Zahlen 8, 14 und 20.

Mittels Primfaktorzerlegung ergibt sich Folgendes:

8 = 2 · 2 · 2 = 2³, höchste Potenz: 2³

14 = 2 · 7, höchste Potenz: 7

20 = 2 · 2 · 5 =2² · 5, höchste Potenz: 5

Das kleinste gemeinsaem Vielfache (kgV) beträgt: 2³ · 5 · 7 = 280.