Addition und Subtraktion

1. Allgemeines zur Addition und Subtraktion von Bruchzahlen

Die ersten Rechenoperationen die man in Mathe beim Bruchrechnen zwischen zwei Bruchzahlen macht, sind das Addieren und das Subtrahieren. Das Schöne hierbei ist: Hat man vorher bei der Addition und Subtraktion sowie der Multiplikation von natürlichen Zahlen keine großen Probleme gehabt, dann wird das normalerweise auch bei der Addition und der Subtraktion von Bruchzahlen so bleiben. Denn im Prinzip werden hier die vorher gelernten Fähigkeiten erneut auf den Prüfstein gestellt, wenn auch nun auf Brüche bezogen.

2. Die Addition und Subtraktion von gleichnamigen Brüchen

In der Mathematik spricht man beim Bruchrechnen von gleichnamigen Brüchen, wenn der Nenner der Bruchzahlen gleich ist. Folgendes sind alles gleichnamige Brüche:

Beispiele:

Gleichnamige Brüche mit dem Nenner vier

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Gleichnamige Brüche mit dem Nenner neun

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Gleichnamige Brüche mit dem Nenner fünfzehn

Liegt nun in Mathe ein gleichnamiger Bruch vor, bei dem eine Addition oder Subtraktion durchgeführt werden muss, so gilt folgende Regel: Die Zähler dürfen sofort addiert bzw. subtrahiert werden, der Nenner bleibt hierbei erhalten.

Beispiele Addition gleichnamiger Brüche:

Addition gleichnamiger Brüche mit dem Nenner drei, Umwandlung in gemischten Bruch

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Addition gleichnamiger Brüch mit dem Nenner sieben

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Addition gleichnamiger Brüch mit dem Nenner fünf, Umwandlung in gemischten Bruch

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Addition gleichnamiger Brüche mit dem Nenner elf, Umwandlung in gemischten Bruch

Auch gemischte Brüche, die gleichnamig sind, dürfen sofort addiert werden. Hierbei addiert man die ganzen Zahlen und die jeweiligen Nenner.

Addition gleichnamiger gemischter Brüche mit dem Nenner fünf

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Addition gleichnamiger gemischter Brüche mit dem Nenner sieben

Beispiel Subtraktion gleichnamiger Brüche: 

Subtraktion gleichnamiger Brüche mit dem Nenner sieben

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Subtraktion gleichnamiger Brüche mit dem Nenner neun

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Subtraktion gleichnamiger Brüche mit dem Nenner fünfzehn

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Subtraktion gleichnamiger Brüche mit dem Nenner neunundzwanzig

Bei Subtraktion gilbt ebenso: Gleichnamige gemischte Brüche dürfen sofort subtrahiert werden.

Subtraktion gleichnamiger Brüche mit dem Nenner vier

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Subtraktion gleichnamiger Brüche mit dem Nenner sieben

3. Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Bei der Addition und Subtraktion von Brüchen, die keinen gleichen Nenner haben, sprich nicht gleichnamig sind, darf man auf keinen Fall sofort die Nenner der Brüche addieren oder subtrahieren. Das würde nämlich definitiv zum falschen Ergebnis führen. Bevor man nämlich Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren oder subtrahieren darf, muss man diese gleichnamig machen. Das macht man, indem man den sogenannten Hauptnenner (das ist immer das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)) der zu addierenden oder subtrahierenden Brüche bildet und die Brüche vom Nenner und  Zähler her schließlich auf den Hauptnenner hin erweitert.

Um den Hauptnenner bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zu ermitteln, muss man immer die kleinste Zahl finden, die den gemeinsamen Teiler aller Bruch-Nenner beinhaltet.

Beispiele für das Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern 

a) bei echten Brüchen

Ein Halb plus zwei Drittel

Der Hauptnenner ist hier 6, da dies das kleinste gemeinsame Vielfache von „2“ und „3“ ist. Nach Ermittlung des Hauptnenners werden die Zähler und Nenner der beiden Brüche auf den Hauptnenner hin erweitert.

Da die „2“ in die „6“ 3-mal „hineinpasst“, wird der Bruch

Ein Halb

mit dem Faktor 3 erweitert. In die „6“ passt die „3“ 2-mal, daher wird der Bruch 

Zwei Drittel

mit dem Faktor 2 erweitert.

Gleichnamig machen der Brüch ein Halb und zwei Drittel

Jetzt sind die Brüche gleichnamig und dürfen daher addiert werden. Anschließend wird der Bruch zu einem gemischten umgewandelt.

Addition gleichnamiger Brüche und Umwandlung in gemischten Bruch

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Drei Viertel plus zwei Fünftel

Der Hauptnenner, sprich das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV), ist hier „20“. Daher muss der erste Bruch mit dem Faktor 5 und der zweite Bruch mit dem Faktor 4 erweitert werden.

Gleichnamig machen der Brüche drei Viertel und zwei Fünftel

Die gleichnamige Brüche dürfen nun addiert werden. Darauf wird der Bruch in einen gemischten Bruch umgewandelt.

Addition gleicher Brüche mit dem Nenner zwanzig, Umwandlung in gemischten Bruch

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Drei Viertel minus zwei Siebtel

Hier ist der Hauptnenner bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) 28. Deshalb muss man den ersten Bruch mit „7“ erweitern und den zweiten Bruch mit „4“.

Gleichnamig machen der Brüche drei Viertel und zwei Siebtel

Bei den nun gleichnamigen Brüchen darf die Subtraktion durchgeführt werden.

Gleichnamige Bruchzahlen mit dem Nenner achtundzwanzig

b) bei unechten Brüchen

Sieben Drittel lus acht Fünftel

Der Hauptnenner bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist hier „15“. Deshalb muss man den ersten Bruch mit dem Faktor 5 und den zweiten Bruch mit dem Faktor 3 erweitern.

Erweiterung der Brüche

Nun dürfen die beiden Brüche addiert werden. Anschließend wird der Bruch noch in einen gemischten Bruch umgewandelt

Addition gleichnamiger Brüche und Umwandlung in gemischten Bruch

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Zehn Drittel minus fünf Viertel

Der Hauptnenner die beiden Brüche bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist hier „12“. Daher muss man den ersten Bruch mit dem Faktor 4 und den zweiten Bruch mit dem Faktor 3 erweitern.

Erweitern des Bruchzahlen

Daraufhin darf man die den einen Bruch von dem anderen Bruch subtrahieren. Zum Schluss muss man noch den unechten Bruch in einen gemischten Bruch umwandeln.

Subtraktion gleichnamiger Bruchzahlen und Umwandlung in gemischten Bruch

c) bei gemischten Brüchen

Bei der Addition und Subtraktion von gemischten Brüchen gilt: Zuerst muss man diese in unechte Brüche umwandeln. Nach dem Gleichnamigmachen mittels des Hauptnenners bzw. des kleinsten gemeinsamen Vielfachens (kgV) dürfen diese addiert oder subtrahiert werden.

Umwandlung gemischter Bruchzahlen

Der Hauptnenner die beiden Brüche bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist hier „14“. Daher muss der erste Bruch mit dem Faktor 2 und der zweit Bruch mit dem Faktor 7 erweitert werden.

Erweitern von Bruchzahlen

Darauf darf man die beiden Brüche addieren. Zum Schluss muss man noch den unechten Bruch in einen gemischten Bruch umwandeln.

Addition gleichnamiger Bruchzahlen, Umwandlung in gemischten Bruch

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Subtraktion gemischter Brüche

Zuerst wandelt man die gemischten Brüche hin zu unechte Brüche um.

Umwandlung gemischter Brüche

Darauf macht man die Brüche gleichnamig. Der Hauptnenner bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist hier „6“. Daher muss man den ersten Bruch nicht erweitern, da dieser bereits den Hauptnenner vorweist, und den zweiten Bruch mit dem Faktor 2.

Erweitern und gleichnamig machen der Bruchzahlen

Darauf darf man den eine Bruch von dem anderen subtrahieren. Anschließend muss man den unechten Bruch noch in einen gemischten Bruch umwandeln.

Addition gleichnamiger Brüche, Umwandlung in gemischte Brüche